Dicembre 2016 e ditoriale

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SAMI DI

S

TATO

2016

Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

F 8

( )

F 5

( )

=

0

8

f t

( )

dt

0

5

f t

( )

dt

=

1

F 8

( )

=

10 

1

f x

( )

  g x

( )

=

 

1

f x

( )

1

4

4

3

g x

( )

=

1

2x 16

 

0

8

f t

( )

dt

8

=

10

8

=

5

4

0

8

  f t

( )

dt

8

=

12

8

=

3

2

1

7

f

t

( )

dt

6

=

f 7

( )

f 1

( )

6

=

3

4

4

6

=

19

24

9

10

F t

( )

dt

=

 

9

10

t

2

16t

+

74

(

)

dt

=

t

3

3

8t

2

+

74t

9

10

=

37

3

Questa informazione ci permette di calcolare

● f '(x) ≥ 0 in (0, 1] e [7, +∞) 

⇒ F(x) è convessa in [0, 1]

e [7, +∞)

● f '(x) ≤ 0 in [1, 7] 

⇒ F(x) è concava in [1, 7]

● f (x) = 2x −16 in [8, +∞) 

⇒ F(10) = 14 e F(x) = x

2

− 16x

+ 74 in [8, +∞) 

2. Il grafico di |f '(x)| coincide con il grafico di f '(x) dove

f '(x) ≥ 0 , mentre in [1, 7] poiché f '(x) < 0 dobbiamo di-

segnare la funzione simmetrica rispetto all’asse x. Il do-

minio di |f '(x)| coincide con quello di f '(x). In particolare,

|f '(x)| : (0, +∞) → [0, +∞).

Dal grafico di f'(x) e dalla crescenza e decrescenza di |f(x)|

otteniamo il grafico di |f (x)|': esso coincide con quello di

f '(x) in (0, 5) e in (8, +∞), mentre è il simmetrico rispetto

all’asse x in (5, 8). In particolare |f (x)|' non è continua in

x = 5 e x = 8.

|f (x)|': (0,5) 

ഫ (5,8) ഫ (8,+∞) → [−2, +∞).

Il grafico di            si ottiene dal grafico di f(x). In parti-

colare se indichiamo con                        , abbiamo che

g(0) = 1, g(1) =       punto di minimo,  g(7) = 

punto

di massimo. 

La funzione g(x) presenta due asintoti verticali x = 5 e

x  = 8 (dove f(x) si annulla) e coincide con l’iperbole 

per  x > 8. g(x) : (0,5) 

ഫ (5,8) ഫ (8,+∞)

→ (−∞,+∞). 

3. Calcoliamo i valori medi richiesti sfruttando i seguenti

integrali:

Valor medio di f(x) in [0, 8] :

Valor medio di |f(x)| in [0, 8] :

Valor medio di f '(x) in [1, 7] : 

Valor medio di F(x) in [9, 10] : 

4. Sappiamo che F'(x) = f(0) = 1, dunque la retta tangente

al grafico di F(x) in (0,0) è la bisettrice y = x.

F(x) assume un minimo relativo in x = 8; poiché F(8) =

10, la retta tangente a tale punto ha equazione y = 10.

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La funzione        è pari, abbiamo quindi 

Ӎ 0,886.

Poiché                 rappresenta l’area compresa tra il grafi-

co di       e l’asse x e 1 >           , u deve essere positivo.

La funzione integranda contenuta in A è una funzione di-

spari e l’intervallo di integrazione è simmetrico rispetto

all’asse delle ordinate, quindi A=0.

Per calcolare il valore di C, sfruttiamo la sostituzione 

t =         :

Per risolvere il quesito, consideriamo il rettangolo di ver-

tici (x,0), (−x,0), (x,1 − ax

2

), (−x,1 − ax

2

).

La funzione che descrive l’area è A(x) = 2x(1 − ax

2

), men-

tre quella che descrive il perimetro è P(x) = 2(2x + 1 − ax

2

).

Studiando il segno di A'(x) e P'(x) e ponendo uguali i

punti di massimo, troviamo che quello con perimetro e

area massimi si ottiene scegliendo a = 3.

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Quesito 1

È noto che 

Stabilire se il numero reale u, tale che

è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti

integrali, motivando le risposte:

Quesito 2

Data una parabola di equazione 

y = 1 − ax

2

, con a > 0

si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel seg-

mento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare a in modo tale

che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro

massimo.

Quesito 3

Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con un liquido

fino all’altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il

volume del liquido è dato da:                             .

+

e

x

2

dx

=

u

e

x

2

dx

=

1 

A

=

u

u

x

7

e

x

2

dx       B

=

 

u

u

e

x

2

dx     C

=

+

e

5x

2

dx

V

=

rh

2

h

3

3

e

x

2

8

e

x

2

dx

=

0

+

e

x

2

dx

=

+

e

x

2

dx

2

=

2

u

e

x

2

dx 

e

x

2

C

=

+

e

5x

2

dx

=

5

5

+

e

t

2

dt

=

5

5

  5x

V

=

0

h

y

2

x

( )

dx

=

0

h

2rx

x

2

(

)

dx

=

=

rx

2

x

3

3

0

h

=

rh

2

h

3

3

B

=

u

u

 e

x

2

dx

=

u

 e

x

2

dx

u

 e

x

2

dx

=

=

1

u

+

 e

x

2

dx

=

1

+

 e

x

2

dx

u

 e

x

2

dx  

=

2

/ 2

Per risolvere il quesito, consideriamo la circonferenza C di

centro (r,0) e raggio r, che ha equazione x

2

− 2rx + y

2

= 0. 

Il volume del liquido cercato si ottiene calcolando il vo-

lume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare

l’arco di circonferenza di C tra [0, h] attorno all’asse

delle ascisse:

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