Dicembre 2016 e ditoriale

88

E

SAMI DI

S

TATO

2016

Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo

serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei

modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che ri-

sponda alle esigenze del condominio. 

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti for-

nisce il disegno in Figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni: 

● la lunghezza L del serbatoio deve essere pari a otto metri;

● la larghezza l del serbatoio deve essere pari a due metri;

● l’altezza h del serbatoio deve essere pari a un metro;

● il profilo laterale (Figura 2) deve avere un punto angoloso alla som-

mità, per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con

un angolo θ ≥ 10°;

● la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno 13 m

3

, in modo

da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effet-

tuando solo due rifornimenti di gasolio;

● al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simme-

tria (segmento AB in Figura 2) deve essere installato un indicatore gra-

duato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del ser-

batoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio.

1. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in Figura

2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può

descrivere il profilo laterale del serbatoio per x

෈ [−1, 1], k intero po-

sitivo, motivando opportunamente la tua scelta: 

2. Determina il valore di k che consente di soddisfare i requisiti ri-

chiesti relativamente all’angolo θ e al volume del serbatoio.

3. Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione

della funzione V(z) che associa al livello z del gasolio (in metri) la per-

centuale di riempimento V del volume da riportare sull’indicatore

stesso.

Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che es-

sendo il serbatoio alto un metro, il valore z del livello di gasolio,

espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riem-

pimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello z pari a

50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indica-

tore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di

riempimento 59,7%. 

4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministra-

tore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in ter-

mini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello z

come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui sug-

gerito, e qual è il valore di z in corrispondenza del quale esso si veri-

fica.

TRACCIA MINISTERIALE - 

Problema 1

f (x)

=

1 

  x

(

)

1

k

f (x)

=

6 x

3

+

9kx

2

4 x

+

1

f (x)

=

cos

2

x

k

Figura 1.

Figura 2.

V

iene proposta una possibile soluzione del tema di

Matematica relativo alla seconda prova del-

l’Esame di Stato 2016 per il Liceo Scientifico.

Nella risoluzione alcuni semplici calcoli sono lasciati al

lettore, per non appesantire troppo l’esposizione. A se-

guire verrà dato un commento personale sulla prova.

Matematica

Liceo scientifico e

liceo scientifico opzione scienze applicate

Giulia Giantesio, Alessandro Musesti

04_Layout 1  25/10/16  10:53  Pagina 88

---

89

E

SAMI DI

S

TATO

2016

Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

1. Tra le funzioni proposte scartiamo subito l’ultima:

, poiché è derivabile in tutti i punti e

quindi non presenta un punto angoloso nell’origine. Con-

sideriamo poi la seconda funzione: 

f(x) = − 6|x|

3

+ 9kx

3

− 4|x| + 1. 

Se ci limitiamo a scriverla nell’intervallo [0,1] (quindi to-

gliendo i valori assoluti) e ne facciamo la derivata, otteniamo

f '(x) = − 18x

2

+ 18kx − 4.

Se calcoliamo tale derivata nell’origine otteniamo 

f '(0) = − 4, che non dipende dal parametro k. Ricordando

che la derivata di una funzione in un punto dà il coeffi-

ciente angolare della retta tangente al grafico della fun-

zione in quel punto, troviamo un angolo con l’orizzontale

che vale θ = arctan(4) 

Ӎ 76°, non compatibile con le con-

dizioni richieste. La prima funzione, invece, ha un punto

angoloso nell’origine ed è simmetrica rispetto all’asse ver-

ticale, quindi ha le caratteristiche richieste.

2. Consideriamo quindi la funzione

, k intero positivo

e restringiamola all’intervallo [0,1], in modo da eliminare

il valore assoluto. La derivata della funzione vale

f '(x) =

ed è definita su [0,1[ per ogni valore di k (nel caso k = 1

è definita anche in x = 1). In particolare nell’origine si ha

f '(0) = −     ,

per cui si ha θ = arctan           . Imponendo θ ≥ 10° si trova

l’equazione

Calcolando con una calcolatrice il valore della funzione

tangente (ricordandosi di impostare la calcolatrice in

gradi sessagesimali DEG), si trova 

Ӎ 5,67

e quindi k ≤ 5. Per calcolare il volume V del serbatoio,

moltiplichiamo l’area della sezione verticale per la lun-

ghezza L pari a 8 metri:

Poiché V deve valere almeno 13 metri cubi e k è positivo,

si ottiene la disequazione

Ӎ 4,33

Quindi l’unico valore intero compatibile con entrambe le

disuguaglianze è k = 5 e in questo caso risulta

θ = arctan         

Ӎ 11,3°

e V =                    

Ӎ 13,33 metri cubi.

3. Per calcolare il volume occupato dal gasolio in funzione

dell’altezza z, conviene invertire la funzione su [0,1]:

z = (1 − x)

1/5

⇒ z

5 

= 1 − x 

⇒ x = 1 – z

5

.

Possiamo ora trovare il volume moltiplicando l’area oc-

cupata dal liquido per la lunghezza della cisterna:

Poiché viene richiesta la percentuale V(z) di riempimento

in funzione di z, sapendo che il volume totale della ci-

sterna è 40/3 troviamo

Possiamo verificare che per z = 0,5 metri (i 50 centime-

tri del testo) si ottiene

che è la percentuale indicata dal testo.

4. Si può far osservare all’amministratore che la cisterna

ha una forma che si restringe sempre di più andando

verso l’alto, quindi il liquido nella parte superiore ha

meno spazio (è per questo che il volume occupato a metà

altezza è maggiore del 50%). Il comportamento propor-

zionale previsto dall’amministratore si avrebbe, nel caso

richiesto di simmetria della sezione verticale rispetto al-

l’asse z, solo per cisterne a sezione verticale rettangolare

(più in generale potrebbero andar bene cisterne con se-

zione a forma di parallelogramma, anche con i lati “obli-

qui” curvilinei).

Se si usasse il livello z come indicatore della percentuale

di riempimento si avrebbe la funzione 100z, quindi per

f (x)

=

cos

2

x

k

f (x)

=

(1

x )

1

k

=

1

x

k

, x

1,1

16k

k

+

1

13

16k

13k

+

13

k

13

3

8 2

0

z

1 t

5

( )

dt

=

16 t

t

6

6

0

z

=

16 z

z

6

6

=

16z

8

3

z

6

.

V (z)

=

16 z

z

6

6

3

40

100

=

120 z

z

6

6

=

120z

20z

6

.

V (0,5)

=

60

20

2

6

=

955

16

=

59,6875%

arctan

1

k

10

°

1

k

tan10

°

k

1

tan10

°

.

V

=

8

1

1

1   x

( )

1/k

dx

=

16

0

1

1 x

( )

1/k

dx

=

=

16

k

k

+

1

1 x

( )

k

+

1

k

0

1

=

16k

k

+

1

1

k

(1 x)

1

k

  1

 ( 1) = 

1

k 1 

 x

(

)

k 1

k

1

k

 

1

tan10

°

1

k

1

5

16 5

6

=

40

3

04_Layout 1  25/10/16  10:53  Pagina 89

---