Dicembre 2016 e ditoriale

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E

SAMI DI

S

TATO

2016

Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

La probabilità di rispondere correttamente a una domanda

equivale a     .

Per superare il test, dobbiamo rispondere correttamente ad

almeno 8 domande. Gli eventi favorevoli corrispondono

ad aver risposto bene a 8, 9, 10 domande. Tali eventi sono

incompatibili e grazie alla formula di Bernoulli per le

prove ripetute abbiamo che la probabilità cercata vale

Ӎ 0,04%

L’affermazione è falsa. Un modo per giustificarlo è os-

servare che la funzione coseno è limitata su tutto l’insieme

dei numeri reali, mentre gli unici polinomi limitati sono

quelli costanti. Quindi ogni polinomio non costante avrà

una differenza rispetto alla funzione coseno che tende ad

esplodere. Anche un polinomio costante, tuttavia, non

può soddisfare la richiesta, perché il coseno oscilla tra i

valori 1 e 

−

1, e quindi una costante avrà sempre almeno

1 come differenza col coseno.

Quesito 4

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possi-

bili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre ri-

spondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di

superare il test rispondendo a caso alle domande?

Quesito 6

Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando

la risposta: “Esiste un polinomio P(x) tale che: |P(x) − cos(x)| ≤  10

−3

,

᭙xʦ ޒ”.

Quesito 5

Una sfera, il cui centro è il punto K(−2,−1,2), è tangente al piano Π

avente equazione 2x − 2y + z − 9 = 0. Qual è il punto di tangenza?

Qual è il raggio della sfera?

Quesito 7

Una pedina è collocata nella casella in basso a

sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad

ogni mossa, la pedina può essere spostata o

nella casella alla sua destra o nella casella so-

pra di essa. Scelto casualmente un percorso di

14 mosse che porti la pedina nella casella d’an-

golo opposta A, qual è la probabilità che essa

passi per la casella indicata con B?

1

4

10

8

1

4

8

3

4

2

+

10

9

1

4

9

3

4

+

10

10

1

4

10

3

4

0

=

109

262144

Questo esercizio di calcolo combinatorio è piuttosto so-

fisticato, anche se risolubile con pochi passaggi.

Per arrivare nella casella A servono esattamente 7 mosse

di tipo S (sopra) e 7 mosse di tipo D (destra); si possono

contare i modi per scegliere tali mosse pensando di sce-

gliere in quali delle 14 mosse vogliamo eseguire le 7

mosse di tipo S, le altre saranno di conseguenza tutte le

mosse di tipo D. Quindi dobbiamo contare il numero dei

sottoinsiemi di 7 elementi che si possono estrarre da un

insieme di 14 elementi, ovvero il coefficiente binomiale

Allo stesso modo, i percorsi che arrivano nella casella B

richiedono 8 mosse in tutto: 5 mosse di tipo S e 3 mosse

di tipo D. Quindi il numero di tali percorsi è pari al coef-

ficiente binomiale

Infine, i percorsi che vanno dalla casella B alla casella A si

ottengono con 6 mosse, 2 di tipo S e 4 di tipo D, quindi sono

Poiché il piano Π ha come normale il vettore (2, –2, 1),

la retta passante per K(–2, –1, 2) e normale al piano Π ha

equazioni parametriche

t

ʦ ޒ

Sfruttando le equazioni cartesiane di tale retta e interse-

candola con il piano Π, troviamo il punto di tangenza tra

sfera e piano

Il raggio della sfera si ottiene facilmente calcolando la di-

stanza dal centro K al piano Π:

dove con a, b, c, d abbiamo indicato i coefficienti del-

l’equazione di Π e con x

K

, y

K

, z

K

le coordinate di K.

x

=

2

+

2t

y

=

1 2t

z

=

2

+

t

x

2z

+

6

=

0

y

+

2z

3

=

0

2x

2 y

+

z

9

=

0

x

=

0

y

=

3

z

=

3

14

7

=

14!

7!7!

.

8

5

=

8!

5!3!

.

6

2

=

6!

2!4!

.

ax

K

+

bx

K

+

cz

K

+

d

a

2

+

b

2

+

c

2

=

4

+

2

+

2 9

4

+

4

+

1

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Poiché per ogni percorso che arriva in B se ne può sce-

gliere uno che da B porta in A, risulta che tutti i percorsi

che portano nella casella A passanti per B sono il prodotto

delle due quantità, ovvero

Essendo tutti i percorsi equiprobabili, la probabilità che

un percorso scelto a caso passi per la casella B si ottiene,

come al solito, calcolando il numero dei casi favorevoli

su tutti i casi possibili:

Ӎ 24,5%.

Una primitiva si calcola sfruttando due volte la formula

di integrazione per parti:

͐e

x

(2x + x

2

)dx = e

x

(2x + x

2

) − 

͐e

x

(2 +2x)dx = e

x

(2x + x

2

)−

e

x

(2 + 2x) + 

͐2e

x

dx = x

2

e

x

+ c .

Imponendo il passaggio per (1,2e) si ottiene

e + c = 2e

⇒ c = e.

Quindi la risposta è F(x) = x

2

e

x

+ e. 

I parametri direttori della prima retta sono (1, 2, 1). Con-

viene scrivere anche la seconda retta in forma parame-

trica: ricavando dalla seconda equazione y = 2x e dalla

prima z = − x – y + 3 = − 3x + 3, la seconda retta si può

scrivere come

t

ʦ ޒ

e dunque i parametri direttori della seconda retta sono 

(1, 2, 3). Per trovare il piano parallelo alle due rette e pas-

sante per P si può porre il seguente determinante uguale

a zero:

=0

Per calcolarlo si può usare, al solito, la regola di Sarrus.

Più velocemente, in questo caso, si può scrivere al posto

della terza riga la sua differenza con la seconda:

=0

e poi sviluppando secondo l’ultima riga si ottiene l’equa-

zione del piano 2x − y − 2 = 0.

Il coefficiente angolare della retta tangente si ottiene de-

rivando la funzione. Per fare ciò si applica il teorema fon-

damentale del calcolo integrale, facendo però attenzione

all’estremo superiore dell’integrale, che non è x ma x

2

.

Quindi bisogna calcolare l’integrando nell’estremo su-

periore e poi moltiplicarlo per la derivata dell’estremo:

f '(x)

Si trova quindi m = f '(

) = 2e      . Poiché si ha facil-

mente che f(    ) = 0, l’equazione della retta tangente si

scrive

Commento

Prima di commentare la prova, vogliamo spendere qualche

parola sul contesto della seconda prova scritta nei Licei

scientifici e delle scienze applicate. Quest’anno, forse per

la prima volta, c’è stata la concreta possibilità che potesse

essere scelta la prova di Fisica e non quella di Matematica,

anche su suggerimento delle simulazioni ministeriali. In-

vece niente di tutto questo è avvenuto ed entrambe le ti-

pologie di Licei hanno avuto la stessa seconda prova. Bi-

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Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

8

5

6

2

.

8

5

6

2

14

7

=

8!6!7!7!

5!3!2!4!14!

=

5 7

13 11

=

35

143

x

=

t

y

=

2t

z

=

3 3t

=

x

2

ln x

2

2x

=

2x

3

ln x

2

e

y

f ( e )

=

m(x

e )

y

=

2e ex

2e

2

.

e

e

Quesito 8

Data la funzione f(x) definita in 

ޒ, f(x) = e

x

(2x + x

2

), individuare la

primitiva di f(x) il cui grafico passa per il punto (1, 2e).

Quesito 10

Sia f la funzione così definita nell’intervallo ]1, +∞):

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto 

di ascissa     .

Quesito 9

Date le rette:

e il punto P(1, 0, −2) determinare l’equazione del piano passante per

P e parallelo alle due rette.

x

=

t

y

=

2t

z

=

t

x

+

y

+

z

3

=

0

2x

y

=

0

f (x)

=

e

x

2

t

ln t

dt  

e

x − 1 y z + 2

1

2

1

1

2

−3

x − 1 y z + 2

1

2

1

0

0

−4

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