F u s m o n o V, R. I s o m o V, B. X o ‘ j a y e V matematikadan

J a v o b : -
1
З
3
.
5 
s
2 -m iso l. f 
°— dx
ni hisoblang.
0 
\/3x+\
Y e c h ilis h i.
4 (
n
/3-5 + 1 - V 3 0 + l ) = 4(4 -1 ) = 12. 
Ja v o b : 12.
2
. 
2
3 -m iso l. J (c o s 'д:-s in *)<& ni hisoblang.
К 
П
4 
4
? 
? 
I
I
Y e c h ilis h i. f(cos дс-s in x)dx=
 
fcos2jcctc = is in 2 x ) -
о 
0
 
2
lo
2
(s in
2
^ - s i n
2
 
0
) = ^ ( l -
0
) = | .
1
Ja v o b : 
2
'
3
k
4 
1
4 -m iso l. J 
, 
ni hisoblang.
к
s h t j c
2
Y e c h ilis h i.
Зя 
3s
r 
d x
4
j
_Д£_ = 
_ctgx
Я Sin JC 
2
Ja v o b : 1.
= - ( c t g ^ - c t g | ) = - ( - l - 0 ) = l.

---

5 -m iso l. f ( ^ + 
e 2x^dx
ni hisoblang. 
Y e c h ilis h i.
\ ( L + e2X) dx= 2 \ ^ + \elX^ = { \ lnx+ 2 elX\
=
= ^ (ln
2
 + e
22
- In 1 - e 21) = ^ (ln 2 - e 4 
~ e2)-
Ja v o b : ^ ( i n ^ - e 4 - e 2).
2
6 -m iso l. j |x2 + 2х-з|<& ni hisoblang.
- 3
Y e c h ilis h i. [-3; 1] oraliqda x2 + 
2 x -
3 < 0 b o ig a n lig i uchun 
m o d u ln in g t a ’ rifi h a m d a a n iq in te g r a ln in g x o s s a la r ig a
aso slan ib in te g ralla sh n i b ajaram iz:
2 9 
' 
1
 
2
 
1
j \x 
+2х-Ъ\сЬс--\{х +2x-3)dx + \{x
+ 
2x-3)<£c = -
( 2
X 
2
---- 1- x —
3x
V
)•
f
2 
x
2
+ x —
Зх II, =
)
= - - + l - 3 - ( - 9 + 9 + 9)
/
1
3 - + 6 - 6
\\
- + 1 -3
3
2 
1 
= 10—+ 2 —
= 13. 
3 
3
J a v o b : 13.
M a s a l a .
у
= x 2 + 1 
parabola hamda 
у
= - 1 va 
у
= 2 to‘g ‘ri chiziqlar bilan 
chegaralangan egri chiziqli 
trapetsiya yuzini hisoblang 
(182-rasm).
Y e c h ilis h i. (4)formula- 
ga ko‘ra
428

---

S =
I 
(хг +i)dx = \^- + 
Ja v o b : 3 ik v . birlik.
=
| + 2 - ± - l = 3± kv.birlik.
5-§. Aniq integrallarni yuzlarni 
hisoblashga tatbiqi
Oldingi paragrafda qaralgan masalada egri chiziqli trapetsiya 
yuzini aniq integral yordamida qanday hisoblanishini ко‘rib chiq- 
dik. Umuman, agar yassi shakl 
x - a, x - b (a < b)
to‘g ‘ri chiziqlar 
va 
у = j\ (x), у = j
2
(x)
egri chiziqlar bilan chegaralangan bo‘lsa, 
(183-rasm) (bunda 
(x) < f
2
(x),a < x < b
), u holda uning yuzi
S = ) { f
2
{x)~ f x{x))dx.
(
1
)
formula bilan hisoblanadi. Ayrim hollarda (1) formula aniq integral- 
ning quyi chegarasi 
a
yoki yuqori chegarasi 
b
shu
у - f \(x)
v a
y = f
2
(x
) 
egri chiziqlarning kesishishi nuqtalarining abssissalariga teng b o ii- 
shi mumkin (184-rasm).
1 
-m a s a la . 
у = x
2
 + 2
parabola 
v a y = x + 4
to‘g‘ri chiziq bilan 
chegaralangan shakl yuzini toping.
Y ech i 1 is h . j.' = x2 + 2 va = x + 4 funksiyalarning grafiklarini 
yasaymiz va x2 + 2 = x + 4 tenglamadan bu grafiklar kesishadigan 
nuqtalarning abssissalarini topamiz:
429

---

у п
о
I
у = 2х - х2
185-rasm
1 
2
186-r asm
2 
2 
х
+ 2 = x + 4<=>x - лг- 2 = 0 => X, = 2 ,
х
2
=-1-
Berilgan funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan shakl 
185-rasmda tasvirlangan. Shakl yuzini (1) formula bo'yicha hisob- 
laym iz:
2 
2 
/ 3 2
N'
S = J (x + 4 - x ~ -
2
)dx = j (-x
+x + 2)dx = ^ - ^ - + ^ - + 2 x j =
= _ 3 + 2 + 4~ 3 _ 2 + ^ = 4 2 ^v- birlik.
Ja v o b : 4 ^ k v . birlik.
jc
2
2 - m a s a la . 
у = 
2
, y = 
2
x - x
egri chiziqlar va x = 0, x = 2 
to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.
Y e c h ilis h i. [0;2 ] kesmada 
y =
2 r va 
y = 2 x - x
2
funksiya-
larning grafiklarini yasaymiz (186-rasm). Rasmda tasvirlangan shakl 
yuzini (1) formula bilan topamiz:
430

---

Agar qaralayotgan jism 
y - f
(x) egri chiziq bilan chegaralangan 
egri chiziqli trapetsiyaning 
Ox
o‘q atrofida aylanishidan hosil bo isa, 
u holda 
Ox
o‘qiga perpendikular x abssissali kesim doiradan iborat 
bo‘lib, uning radiusi 
у
= /(x) ordinataga mos keladi (187-rasm) va
S(x) = к у
2
boiib, 
Ox
o‘qi atrofida aylanayotgan jism hajmi
ь
,
V = л \ у dx
(1)
a
formula bilan topiladi.
J a v o b :
kv. birlik.
6-§. Aylanish jismlarining hajmini hisoblash
V
2 
2
R - x
dan iborat yarim 
aylanani abssissa o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo‘ladi,

---

bunda 
- R < x < R .
Uning hajmini (1) formuladan foydalanib 
topamiz:
V = к
f
(R
2
 - x
2
 )dx = n
( Я 2л: -
^
| 
= ^ лг/?3 kub birlik.
Ja v o b : 4 7r
R
3
kub birlik.
2 - m a s a l a . A bssissa o ‘ qi atro fid a 
у = —
g ip erb o la va
у =
3, 
x =
6 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli tra­
petsiyaning aylanishi natijasida hosil bo'lgan jism hajmini toping.
Y e c h ilis h i. (1) formulaga ko‘ra
Ja v o b : 2 2 kub birlik.
7-§. Eng sodda differensial tenglamalar
7 .1. 
Differensial tenglamaga keltiriladi- 
gan ayrim m asalalar. 
Tabiatshunoslik va 
texn ik an in g 
k o 'p g in a
m a sa la la ri 
qaralayotgan hodisa yoki jarayonni tavsif- 
laydigan noma’lum funksiyani topishga kel- 
tiriladi.
1 -m a s a la . Massasi 
m
boigan moddiy 
nuqta og'irlik kuchi ta’sirida erkin tushmoq- 
da. Havoning qarshiligini hisobga olmay, bu 
moddiy nuqtaning harakat qonunini toping.
Y ec h ilish i. Moddiy nuqtaning vaziyati 
s 
koordinata bilan aniqlanib, u 
t
vaqtga bog'liq 
ravishda o'zgaradi. Boshlang'ich t - 0 momen- 
tda moddiy nuqtaning tezligi v0 ga, uning sanoq 
boshi 0 dan uzoqligi esa ,v0 ga teng bo'lsin 
(188-rasm). Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra
4 A
■so
ГГ
T
188-rasm