F u s m o n o V, R. I s o m o V, B. X o ‘ j a y e V matematikadan

t
 
belgilash kiritamiz, bundan x - 3 
= t2, 
x - t
2
 +
3, 
dx
= 2
tdt.
U holda
7Г
421

---

= 2 J(/4 
+ 3t2)dt = 2 ^ + 3 - ^ + C - ^ t
5
 +t
3
 + C.
Eski o‘zgaruvchiga qaytamiz:
5
j 
x\[x^3dx
 = | 
(\ Jx -3)5 +(\lx.~
 З)3 + С = 
+ ( x - 3 ) 2 + C.
Ja v o b : 2(X~3 )2 + ( x - 3 ) 2 +C.
2 -m iso l. J x 2 sin(x3)Jx ni toping.
Y e c h ilis h i. x 3 = ? belgilash kiritamiz. U holda 3x2rfx = 
dt
ekan- 
ligini e’tiborga olsak, Jx 2sin(x3)dx=:±[sin?dr = -± cosr + 
C
=
= - ^ cos(x3) + С ni hosil qilamiz.
1 
3
Ja v o b : -^ c o s (x ) + C.
3 -m iso l. 
ni toping.
Y e c h ilis h i. 1 
+ e
1
 - t
belgilash kiritamiz, bundan 
e x
= t - 1, 
x = In (/ - 1), 
dx = -
0 1
.
U holda
r 
dx
_ r 
dt 
l+ex 
t ( t - l
) '
?(/_D ~ 7ZJ _ } tenglikni e ’tib org a olib,
= J rl'i - J f = m I r - 11-In I / 1 +C
ni hosil qilamiz. Eski o‘zgaruvchiga qaytamiz:
1 
=
In
e x
- ln(l 
+ e x) + C
= x - ln ( l + 
e x) + C.
J
x \ lx -3 d x = j( t 2
 + 3)/ -2
t dt =
J a v o b : x —ln(l 
+ex) + C.
422

---

Integrallashning yana bir usuli, ikki funksiya ko‘paytmasini dif- 
ferensiallash qoidasidan kelib chiqadigan 
J 
udv = uv
- j 
vdu
formuladan foydalanishga asoslangan 
bo'laklab integrallash
usuli 
deb ataluvchi usulni jadvalda keltirilmagan funksiyalarning boshlan- 
g‘ ich funksiyalarini topishga tatbiqini ko‘rib chiqamiz.
1-m iso l. Jxcosxdx ni toping.
Y e c h ilis h i. 
u - x , dv =
cos
xdx
desak, 2-§ dagi (1) formulaga 
ko‘ra hamda cosx ning boshlang'ich funksiyasi sinx ga tengligidan 
du - dx,
v = sinx
larni hosil qilamiz. U holda boiaklab integrallash formulasiga ko‘ra: 
j x
cos 
xdx = x
sin 
x
- J sin 
xdx = x
sin x + cos 
x+C.
Ja v o b : x sin x +cos x + C.
2 -m iso l. J x2 In 
xdx
ni toping.
Y e c h ilis h i. 
и
= lnx, 
dv - x2dx
deymiz, bundan
1 
г 2
du = % dx,
v = 
\x dx =
4p.
Bo'laklab integrallash formulasiga ko‘ra 
| x2 In 
xdx =
j
x3 In 
x
- 1 
J 
x3 • ^ 
dx =
=
1 x3ln x - 1
j x
2
dx=
* x3lnx - ' • 
2
+C = x 
- x9
+C.
Ja v o b : x3*njc--^3 +C.
3 -m iso l. 
\xe~xdx
ni toping.
Y e c h ilis h i. 
u - x , d \ - e xdx
deymiz, bundan 
du = dx,
v = -
e~x.
B oiaklab integrallash formulasiga ko‘ra 
I 
xe~xdx = - x e x + \ e Xdx = —x e x —e x
+ C.
3-§. Bo‘laklab integrallash
J a v o b :
~xe 
~ e
 
+ 
С•
423

---

4-§. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi. Aniq integral
4 .1 . 
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash. 
Quyidan 
Ox 
o‘qidagi 
[a\ b
] kesma bilan, yuqoridan musbat qiymat qabul qiladi- 
gan 
у
= 
fix)
uzluksiz funksiyaning grafigi bilan, yon tomonlaridan 
esa 
x = a
va 
x = b
to‘g‘ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralan- 
gan yassi shakl (179-rasm) yuzasini hisoblash masalasini ko‘rib
О
^ S ( x ) :
У/////.
180-rasm
chiqaylik. Bunday shakl 
egri chiziqli trapetsiya
deyiladi. [a; 
x]
asosli 
egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
S(x)
deb belgilaymiz (180-rasm), bun- 
da 
x
- shu [с/; 
b]
kesmaga tegishli ixtiyoriy nuqta. 
x - a
da 
S(a) =
0; 
x - b
da 
S(b) = S.
.S'(.r) ni 
fix)
funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi, 
ya’ni 
S'(x)
= /(.v)ekanligini ko‘rsatamiz. Buninguchun 
S(x + Ax)- S(x) 
ayirmani qaraymiz. Aniqlik uchun Ал: > 0 holni qaraymiz (A.v < 0 hoi 
ham shunga o‘xshash qaraladi). Bu ayirma asosi [.v; 
x + Ax ]
kesmadan
iborat boigan trapetsiya yuziga 
teng(181-rasm).
Agar Дх son kichik bo‘Isa, u 
holda bu yuz taqriban 
fix) ■
 Ax
ga 
teng bo‘ladi, ya’ni 
S(x
+ 
Ax)-S(x) ~ 
-fix)Ax.
Bundan
S(x+Ax)-S(x)
Ax
-fix).
Ax
0 da bu taqribiy teng- 
likning chap qismi hosila ta ’rifi- 
ga k o ‘ ra S'(.x) ga in tilad i va
424

---

yaqinlashish xatoligi 
Ax
—» 0 da istalgancha kichik bo'lib boradi. 
Demak,
S\x) = /(x).
Shunday qilib, 
S(x)
funksiya 
fix)
ning boshlang'ich funksiyasi 
ekan. Istalgan boshqa 
F(x)
boshlang'ich funksiya S^xjdan o'zgarmas 
songa farq qiladi, y a ’ni
F(x) = S(x) + С.
(1)
Bu tenglikdan x 
- a
da 
F(a) - S(a) + С
ga ega boiam iz. 
S(a
) = 0 
bo'lgani uchun 
F(a) - С
U
holda 
(1) 
tenglikni 
S(x) = F(x)-F(a) 
ko'rinishda yozish mumkin. Bundan 
x - b
da 
S(b)
= 
F(b) - F(a) 
ekanini topamiz. Demak, 179- rasmda tasvirlangan egri chiziqli tra- 
petsiya yuzi
S = F (b)-F(a
) 
(2)
formula bilan topiladi, bunda 
F(x)
berilgan/ (x) funksiyaning istal­
gan boshlang'ich funksiyasi.
4.2. Aniq integral
T a’rif. / (x) 
funksiya uchun boshlang'ich funksiyaning b va a 
nuqtalaridagi qiymatlarining F(b) - F(a) ayirmasi shu funksiyaning a 
dan b gacha aniq integrali deyiladi.
Aniq integral
J 
f(x)dx
a
kabi belgilanadi. Bunda 
a
va 
b
sonlar 
integrallash chegaralari 
deyiladi 
(b -
yuqori chegara, 
a -
quyi chegara), 
J 
- belgi integral
belgisi, / (x) - integral ostidagi funksiya, /
(x)dx -
integral ostidagi 
ifoda. Shunday qilib, ta’rifga ko'ra,
]f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) .
(3)
a
Bu formula Nyuton-Leybnis formulasi deb ataladi.
(2) va (3) formulalardan egri chiziqli trapetsiya yuzini hisoblash formulasi
S = \ f(x)dx
(4)
a
ni hosil qilamiz.