Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

12
Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
den. Bei Raumtemperatur zeigt GaAs eine Bandlücke (E
Gap
) von 1.42 eV, AlAs eine
Bandlücke von 2.168 eV. Für die ternäre Verbindung beider Materialien Al
x
Ga
1−x
As
errechnet sich E
Gap
aus:
E
Gap,AlGaAs
= 1.424 + 1.247x eV, (x < 0.45)
(2.1)
und
E
Gap,AlGaAs
= 1.9 + 0.125x + 0.143x
2
eV, (x > 0.45)
(2.2)
In einer für diese Arbeit typischen Struktur mit einem Aluminium Anteil x = 0.30
beträgt die die Differenz der Bandlücke von GaAs und AlGaAs somit 0.374 eV. An
der Grenzfläche beider Materialien tritt daher eine Stufe in der Leitungs- bzw. Va-
lenzbandkante (∆E
V
) auf, welche jedoch ungleich stark ausgeprägt ist. Nach Batey
et al. [22] folgt ∆E
V
über den gesamten Bereich von x der Relation:
∆E
V
= 0.55x eV, (0 < x < 1)
(2.3)
Wird auf der Oberfläche der Struktur eine metallische Gate-Elektrode aufgebracht,
kann durch Anlegen einer Spannung das Einschlusspotential relativ zum Fermi Ni-
veau des Halbleiters verschoben werden. Dadurch kann der leitende Kanal sowohl
angereichert als auch verarmt, aber auch die Symmetrieeigenschaften des Einschluss-
potentials beeinflusst werden. Auf die Bedeutung von Symmetrieeigenschaften in
2DHGs wird detailliert in Abschnitt 2.4 eingegangen.
Für alle weiteren Betrachtungen ist die Raumrichtung, die die Bewegungsfreiheit
der Ladungsträger einschränkt die z-Richtung. Elektronen oder Löcher können sich
somit in der in x- und y-Richtung aufgespannten Ebene frei bewegen. Unter der
Annahme einer parabolischen Dispersion, und der vollen Entartung des 2D-Systems
durch ausschließliche Besetzung des ersten Subbandes, kann die Gesamtenergie für
Elektronen wie folgt dargestellt werden:
E = E
s
+
2
2m
∗
(k
2
x
+ k
2
y
)
(2.4)
wobei E
s
die Energie des Grundniveaus darstellt, welche entscheidend von der Form
des Einschlusspotentials abhängt. Berechnungen von E
s
zu verschiedenen Band-
strukturen sind z.B. in [20] gezeigt. Durch die Einführung der effektiven Masse m
∗
in Relation zur Ruhemasse eines freien Elektrons m
0
ist es möglich, oben ange-
gebene Energiewerte analytisch als Lösung der Schrödinger Gleichung anzugeben.
Ferner ist die Spin entartete Zustandsdichte D(E) für 2D Systeme unabhängig von
der Energie:
D(E) = D =
m
∗
π
2
(2.5)
Bei Messtemperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt, tragen nur Ladungsträger
nahe der Fermikante zum Transport bei. Aus diesem Zusammenhang lassen sich mit

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2.2. Magnetotransport in 2D-Halbleitersystemen
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der Ladungsträgerdichte n
s
direkt Ausdrücke für die Fermienergie und den Fermi-
Wellenvektor herleiten:
E
F
=
n
s
π
2
m
∗
(2.6)
und
k
F
=
√
2πn
s
(2.7)
2.2
Magnetotransport in 2D-Halbleitersystemen
Zweidimensionale Ladungsträgersysteme können mittels Magnetotransport- Mes-
sungen bei tiefen Temperaturen charakterisiert werden. Die dafür verwendete Pro-
benstruktur ist wahlweise die Hallbar- oder van-der-Pauw- (vdP) Geometrie (siehe
Abbildung 2.2). Die beiden Hauptcharakteristika solcher Systeme sind ihre Ladungs-
trägerdichte n
s
und ihre Ladungsträgerbeweglichkeit µ, welche nach der klassischen
Drude Theorie aus Magnetotransportdaten extrahiert werden können. Im Drude
Bild werden Elektronen als Teilchen betrachtet, welche nach einer mittleren, vom
Magnetfeld unabhängigen Zeit τ
t
gestreut werden. Sie bewegen sich mit einer Driftge-
schwindigkeit v
D
entlang eines elektrischen Feldgradienten, welcher nach Konvention
in x-Richtung zeigt, durch den Halbleiter. Die Beweglichkeit ergibt sich aus:
µ =
v
D
E
x
=
eτ
t
m
∗
(2.8)
Durch Anlegen eines magnetischen Feldes B senkrecht zur freien Bewegungsebene
der Elektronen, wirkt die Lorentzkraft auf die sich in der x-y Ebene bewegenden
Elektronen und führt zu einer Akkumulation von Ladungsträgern an einem der
Probenränder in y-Richtung. Das sich dadurch aufbauende Feld E
y
wirkt der Lor-
entzkraft entgegen. Aus den messbaren Komponenten des spezifischen Widerstands-
tensors ρ
xx
und ρ
xy
lassen sich µ und n
s
wie folgt extrahieren:
n
s
= −(
eρ
xy
B
)
−1
(2.9)
und
µ =
1
en
s
ρ
xx
(2.10)
In der Messgeometrie mit Hallbar (Abbildung 2.2 links) wird ρ
xy
über die jeweils
durch den eingeprägten Messstrom zu teilenden Spannungen U
H1
oder U
H2
ermit-
telt. Der Längswiderstand ρ
xx
wird entsprechend aus U
x1
oder U
x2
jedoch zusätzlich
multipliziert mit dem Faktor L
y
/L
x
errechnet. Die Stärken der Hallbar-Geometrie
liegen in der Möglichkeit ρ
xx
und ρ
xy
über mehrere Potentialabgriffe während ei-
nes Magnetfeldsweeps parallel messen zu können. Näheres dazu kann in Kapitel 3.4

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
U
x1
U
x3
U
x2
U
x4
I
1
I
4
I
3
I
3
U
H
I
H
U
H1
U
x1
U
x2
U
H2
L
y
L
x
S
o
u
rc
e
D
ra
in
I
I
B
U
x1
U
x3
U
x2
U
x4
I
1
I
4
I
3
I
3
U
H
I
H
U
x1
U
x3
U
x2
U
x4
I
1
I
4
I
3
I
3
U
H
I
H
U
H1
U
x1
U
x2
U
H2
L
y
L
x
S
o
u
rc
e
D
ra
in
I
I
U
H1
U
x1
U
x2
U
H2
L
y
L
x
S
o
u
rc
e
D
ra
in
I
I
B
B
Abbildung 2.2: Hallbar- (links) und van-der-Pauw Messgeometrie für Magnetotransport
Untersuchungen. Der Strompfad ist für eingezeichnetes B-Feld für Löcherleitung gültig. Zur
Veranschaulichung eines Elektronenstroms muss lediglich der Strompfad oder das B-Feld
gedreht werden.
nachgelesen werden.
Der Vorteil einer Messung in vdP-Geometrie (Abb. 2.2 rechts) liegt in der Unabhän-
gigkeit des Verfahrens von der Probengeometrie [23], wodurch Proben sehr schnell
und einfach präpariert werden können. Die Ermittlung von ρ
xx
erfolgt über Permu-
tation der Strom- und Messkontakte und kann somit durch Messung von U
x1
, U
x2
,
U
x3
und U
x4
und anschließender Verrechnung mit
ρ
xx
=
πd
ln2
(
U
x1
/I + U
x3
/I
2
+
U
x1
/I + U
x3
/I
2
)
1
2
F (Q)
(2.11)
bestimmt werden. Dabei bezeichnet d die Dicke der leitenden Schicht, I = I
1
= I
2
=
I
3
= I
4
der Messstrom und F (Q) eine Fehlerfunktion, deren numerische Lösung Ref.
[23] oder [24] entnommen werden kann. Der spezifische Hallwiderstand kann über
U
H
/I
H
in diagonaler Anordnung wie eingezeichnet oder senkrecht dazu gemessen
werden.
Das klassische Drude Modell ist nur gültig für kleine B-Felder, bei denen die Be-
dingung für die Zyklotronfrequenz ω
c
τ
q
< 1 mit ω
c
= eB/m
∗
und τ
q
der elastischen
Quantenstreuzeit erfüllt ist. Für höhere B-Felder wird die mittlere freie Weglänge
der Elektronen schnell größer als der Zyklotronradius, wodurch die Teilchen die Zy-
klotronbahnen mehrfach durchlaufen und mit sich selbst interferieren können. Die
Bohr-Sommerfeld Quantisierung beschreibt die daraus resultierende Aufspaltung der
für B = 0 gültigen konstanten Zustandsdichte (Formel 2.4) in eine Serie diskreter
δ-förmiger Energieniveaus, den so genannten Landauniveaus. Die zu lösende Schrö-

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