Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Näherung (Pauli-Gleichung) der Dirac-Gleichung hervorgehenden Korrekturterme
H
SB
angefügt:
H
SB
= −
e
4m
2
0
c
2
σ · p ×
V
0
(2.24)
mit m
0
als Masse des freien Elektrons, der Lichtgeschwindigkeit c, dem Coulomb-
Potential des Atomkerns V
0
, dem Impulsoperator p und σ = (σ
x
, σ
y
, σ
z
) dem Vektor
der Pauli-Spin Matrizen. Gleichung 2.24 kann überführt werden in eine Darstellung
aus Drehimpulsoperator L, Spinoperator S und einer skalaren Funktion der Ortsva-
riablen r:
H
SB
= −
e
2m
2
0
c
2
1
r
dV
0
dr
(L · S)
(2.25)
Diese Darstellung verdeutlicht, wie Spin und Bahndrehimpuls von Elektronen im
Atom gekoppelt sind. Die Spin-Bahn WW skaliert mit der Größe der Atome, wes-
halb sie in schweren Halbleitern wie GaAs, InAs oder InGaAs deutlicher ausgeprägt
ist, als z.B. in Silizium.
Die Spin-Bahn WW in einem Atom ist durch folgendes Bild vereinfach zu veran-
schaulichen: Im Ruhesystem des Atoms ist ausschließlich das elektrische Feld des
Atomkerns präsent. Im Ruhesystem des um den Kern kreisenden Elektrons wird
das elektrische Feld des Kerns jedoch durch relativistische Transformation in ein
B-Feld gewandelt, welches über die Zeeman-WW an das magnetische Moment des
Elektronenspins koppelt. Die Transformation des Feldes kann beschrieben werden
durch
B =
1
c
2
· v × E.
(2.26)
Das Valenzband von GaAs Volumenmaterial
Die Energie E
n
(k) von Ladungsträgern, welche sich im periodischen Gitterpotential
eines Kristalls bewegen, ist in Bändern mit Index n diskretisiert. Die Abhängigkeit
von E
n
vom Wellenvektor k wird als Dispersionsrelation bezeichnet. Ein Beispiel für
eine numerisch berechnete Dispersionsrelation von GaAs Volumenmaterial (Bulk)
ist in Abbildung 2.7a) zu sehen. GaAs ist ein direkter Halbleiter mit der kleinsten
Bandlücke am Γ-Punkt. Eine schematische Darstellung des für diese Arbeit inter-
essanten Bandverlaufes in der Umgebung von Γ ist in Abbildung 2.7b) skizziert.
Spin-Bahn Kopplungseffekte sind im Valenzband von GaAs weit stärker ausgeprägt
als im Leitungsband. Die Ursache dafür ist, dass die Orbitale der Ladungsträger
unterschiedlichen Symmetrien folgen. Während die Elektronen in den s-artigen Or-
bitalen des Leitungsbandes nur den quantisierten Drehimpuls l = 0 annehmen,
können Löcher im Valenzband durch dessen p-artige Orbitale mit Drehimpuls l =
1 die Zustände l
z
= -1, 0 und 1 einnehmen. Zusammen mit der Spinquantenzahl
s = 1/2 ergibt sich nahe der Valenzbandkante ein Sextett von Bändern mit den

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2.4. Spin-Bahn Kopplungseffekte in GaAs
23
a)
b)
a)
b)
Abbildung 2.7: a) Berechnete Dispersionsrelation von GaAs Volumenmaterial (aus [34])
und b) schematische Darstellung des Bandverlaufes nahe dem Γ-Punkt (aus [35]).
möglichen Quantenzahlen für den Gesamtdrehimpuls j = l + s = 3/2 und j = 1/2.
Aufgrund der Spin-Bahn-WW ist diese Gruppe von Bändern energetisch gespalten
in ein Duplet mit j = 1/2 (SO, split-off band) und ein Quadruplet mit j = 3/2. Für
alle weiteren Betrachtungen wird das split-off Band vernachlässigt, da es mit einer
Energielücke von ∆
SO
= 0.34 eV hinreichend weit von der Valenzbandkante entfernt
ist, so dass es an Transportprozessen nicht beiträgt.
Das Quadruplet mit j = 3/2 ist am Γ-Punkt (k = 0) vierfach entartet. Für Werte
von k = 0 ist die Entartung aufgehoben in zwei Duplets mit unterschiedlichen Pro-
jektionen j
z
des Gesamtdrehimpulses auf die z-Achse. Das zweifach entartete Band
mit j
z
= ±3/2 wird als Schwerlochband (HH, heavy hole), jenes mit j
z
= ±1/2 als
Leichtlochband (LH, light hole) bezeichnet. Die Namen resultieren aus den unter-
schiedlichen Massen der beiden Bänder. Wie Abbildung 2.7b) deutlich zeigt, ist die
Krümmung des HH-Bandes wesentlich kleiner als die des LH-Bandes und somit die
effektive Masse m
∗
der Löcher im HH-Band, als zweite Ableitung der Dispersions-
relation eines Bandes deutlich größer als jene im LH-Band. Die Literatur (siehe z.B.
[36]) gibt die Massen der beiden Bänder mit m
∗
HH
= 0.55m
0
und m
∗
LH
= 0.08m
0
an, wobei m
0
die Masse des freien Elektrons ist. Es muss jedoch darauf hingewiesen
werden, dass das Valenzband für reale Systeme wie in Abbildung 2.8a) ersichtlich,
im Gegensatz zum Leitungsband nicht parabolisch ist, weshalb die effektive Masse
nicht konstant sein kann. Die obigen Werte können so nur als Richtwerte für kleine
k gesehen werden.

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
a)
c)
b)
a)
c)
b)
Abbildung 2.8: Qualitative Skizze zu HH-LH anti-crossing (a). Beispiel für Berechnungen
zur anisotropen Valenzband-Dispersionsrelation E(k ) für GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As QWs der
Breite 15 nm in [001] (b) und [110] (c) Wachstumsrichtung (aus [35]).
Das Valenzband von 2D-Lochgasen in GaAs
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Herstellung und Charakterisierung von 2D-
Lochgasen im GaAs/AlGaAs Heterosystem. Die Einschränkung der Bewegungsfrei-
heit von Ladungsträgern auf eine Ebene senkrecht zur z-Achse hat einen großen
Einfluss auf die Loch-Zustände im Valenzband. Die vierfache Entartung der Bän-
der wird schon am Γ-Punkt aufgehoben und resultiert in der Bildung der zwei be-
kannten Duplets mit HH-Zuständen (j
z
= ±3/2) und LH-Zuständen (j
z
= ±1/2).
Abbildung 2.8a) illustriert diesen Zusammenhang schematisch. Das HH-Band hat
in der Umgebung von k = 0 nun die stärkere Krümmung in der Bewegungsebene
und somit die kleinere effektive Masse. Die Krümmung des LH-Bands verhält sich
gerade umgekehrt. Man spricht von einer Masseninversion bei Einschränkung in der
Wachstumsrichtung (siehe z.B. [37]). Würden die beiden Bänder nicht miteinan-
der wechselwirken, entständen Kreuzungspunkte (gestrichelte Linien in Abbildung
2.8a). In realen Systemen zeigen die Bänder hingegen ein sogenanntes anti-crossing
Verhalten (durchzogene Linie) was ein starkes Wechselwirken der Bänder unterein-
ander voraussetzt.
In Abbildung 2.8b) ist ein Beispiel für eine numerische Berechnung der Dispersionsre-
lation eines 15 nm breiten QWs im GaAs/Al
0.3
Ga
0.7
As System in [001] Wachstums-
richtung für die Transportrichtungen [100] (durchgezogene Linien), [110] (gestri-
chelte Linien), sowie in axialer Näherung (gepunktete Linien) gezeigt. Ein weiteres
Beispiel für die [110]-Wachstumsrichtung ist in Abbildung 2.8c) mit Dispersionsre-

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