Hochbewegliche zweidimensionale Lochsysteme in GaAs/AlGaAs

2.4. Spin-Bahn Kopplungseffekte in GaAs
25
lationen für die [001] und[110] Transportrichtungen der gleichen Struktur zu finden
(aus [35]). In den Grafiken ist zu sehen, dass durch die Einschränkung auf eine Ebe-
ne eine große Anzahl von Bändern nahe der Valenzbandkante entsteht. Ferner ist
die Separation der beiden ersten Bänder abschätzbar. HH1 und LH1 in der [001]-
Richtung haben etwa den Abstand von 10 meV, HH1 und HH2 in der [110]-Richtung
etwa 6 meV. Durch die große effektive Masse der Löcher ist die Fermienergie eher
klein. Typische Werte liegen zwischen 1 - 3 meV für 2DHGs mit einer Ladungsträ-
gerdichte im Bereich von ∼ 10
11
cm
−2
. Daher kann für tiefe Temperaturen stets
angenommen werden, dass nur das HH-Band mit Löchern besetzt ist.
Spin-Bahn Kopplung in 2D Systemen
Erfüllt ein Kristall die Bedingungen der Raum- und Zeit- Inversions-Symmetrie, so
sind dessen Bänder Spin-Entartet und folgen der Relation E
k↑
= E
k↓
. Der GaAs
Kristall erfüllt die Bedingung der Raum Inversions-Symmetrie nicht wodurch die so
genannten Kramerschen Entartung aufgehoben wird E
k↑
= E
k↓
. Die Rauminversions-
Asymmetrie ist auf zwei unterscheidende Beiträge zurückzuführen: Dem intrinsi-
schen Dresselhaus Spin Splitting (BIA, bulk inversion asymmetry) [38] und dem
veränderlichen Rashba Spin Splitting (SIA, structur inversion asymmetry) [39], [40].
BIA ist in Kristallen zu beobachten, deren Gitter kein Inversionszentrum aufweisen.
Im Fall von GaAs ist das Gitter in Zinkblende Struktur mit zweiatomiger Basis
angeordnet. Es ist folglich kein Punkt im Kristall zu finden, an dem durch die Ope-
ration einer Punktspiegelung das Gitter in sich selbst abgebildet werden könnte. Der
BIA Beitrag zum Spin Splitting im Leitungsband von GaAs 2D-Systemen ist linear
in k und kann durch folgenden Hamilton-Operator dargestellt werden:
H
D
= β
D
(σ
x
k
x
− σ
y
k
y
),
(2.27)
mit den Pauli-Spin Matrizen σ
x
, σ
y
und dem vom Material des Kristalls und der
Breite des Einschlusspotentials abhängigen Dresselhaus Koeffizienten β
D
. Eine Dar-
stellung der Spin-Ausrichtung durch BIA ist in Abbildung 2.9c) zu sehen. Der Bei-
trag von BIA zum Spin-Splitting im Valenzband von GaAs 2D-Systemen ist ebenfalls
linear in k , spielt aber aufgrund der Dominanz des Rashba Beitrages in den in die-
ser Arbeit vorgestellten Strukturen nur eine untergeordnete Rolle [35].
Auch der SIA Beitrag zum Spin-Splitting in 2DEGs verläuft linear mit k und kann
als Hamilton Operator wie folgt formuliert werden:
H
R
= α
R
(E
z
)(σ
x
k
y
− σ
y
k
x
),
(2.28)
wobei α
R
(E
z
) ein Kopplungsparameter für die Stärke des SIA Spin-Splittings (Ras-
hba Koeffizient) ist und linear vom elektrischen Feld senkrecht zur Bewegungsrich-
tung der Ladungsträger abhängt. Zu E
z
können sowohl extern angelegte Felder (z.B.

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Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.9: Skizzierte Bandstruktur für ein 2DEG unter Berücksichtigung der Bei-
träge von Dresselhaus und Rashba-Spin Splitting Effekten (a) oder einer Mischung aus
beiden (d). Orientierung der Elektronenspins entlang der Fermi-Kontur bei Anwesenheit
von SIA (b), BIA (c) und einer Überlagerung beider Effekte (e) (aus [41]).
durch das Potential einer Gate-Elektrode erzeugt), als auch in die Struktur eingebau-
te Felder durch die räumliche Trennung von Donator- oder Akzeptor-Schichten von
freien Ladungsträgern im Einschlusspotential (Modulationsdotierung) beitragen. Ei-
ne Darstellung der Spin-Ausrichtung im Leitungsband eines 2DEGs in Anwesenheit
des Rashba Beitrags ist in Abbildung 2.9b), für eine Überlagerung der Beiträge aus
SIA und BIA in Abbildung 2.9e) gezeigt (aus [41]).
Das Rashba induzierte Spin-Splitting im Valenzband einer 2D-GaAs/AlGaAs He-

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2.4. Spin-Bahn Kopplungseffekte in GaAs
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terostruktur verliert aufgrund des Gesamtdrehimpulses der schweren Löcher (J =
3/2) seinen linearen Zusammenhang. Der Drehimpuls (l) des Schwerlochbandes ist
in z-Richtung, der Wachstumsrichtung quantisiert. Da in einem System nur eine
Quantisierungsachse existieren kann, muss sich der Spin (s) der Löcher ebenfalls in
der z-Richtung orientieren. Spin-Bahn Kopplungsphänomene wie der SIA- oder der
Zeeman-Effekt neigen dazu den Spin nach der Bewegungsebene auszurichten. Für
den SIA Beitrag im Leitungsband ist dies in Abbildung 2.9 veranschaulicht. Dieser
Prozess steht in Konkurrenz zum HH-LH Splitting, welches die Quantisierungsach-
se entlang der Wachstumsrichtung begrenzt. Deshalb kann der Rashba Beitrag nur
durch Terme höherer Ordnung formuliert werden. Für 2DHGs in III/V Halbleitern
kann der SIA Effekte einschließende Hamilton-Operator wie folgt formuliert werden
[42]:
H =
p
2
2m
+ i
α
R
2
3
(p
3
−
σ
+
− p
3
−
σ
−
)
(2.29)
mit p
±
= p
x
± ip
y
und σ
±
= σ
x
± iσ
y
, wobei p den Impulsoperator für Löcher und α
R
den oben beschriebenen Rashba Koeffizienten darstellen. Die Lösung der Schrödinger
Gleichung mit obigem Hamilton Operator führt nach [35] zu Energieeigenwerten der
Form:
E
±
(k) =
2
k
2
2m
± α
R
k
3
(2.30)
Aus beiden Gleichungen wird ersichtlich, dass SIA in 2DHGs proportional zu in k
3
beschrieben werden muss und dass die Spin-Orientierung der Löcher im Valenzband
dadurch eine deutlich komplexere Struktur aufweist, als jene für Elektronen, wie in
Abbildung 2.9 gezeigt.
Numerische Simulationsmethoden der Dispersionsrelation von 2DHGs
Obwohl vorliegende Arbeit rein experimenteller Natur ist, soll hier ein kurzer Über-
blick über die Methoden zur Berechnung von Dispersionsrelationen von 2DHGs ge-
geben werden, da im weitern Verlauf Ergebnisse aus theoretischen Arbeiten zur In-
terpretation von Experimenten herangezogen werden. Die Schrödinger Gleichung im
Valenzband eines 2D-Systems ist aufgrund ihrer Terme höherer Ordnung meist nicht
analytisch zu lösen. Energieeigenwerte werden daher auf dem Weg numerischer Si-
mulationen gewonnen, welchen die theoretischen Modelle der k · p-Methode und der
Envelopefunktions-Näherung (EFA, Envelope Function Approximation) zu Grunde
liegen. Beide Methoden schließen Spin-Bahn Effekte ein und sollen hier nur kurz Er-
wähnung finden, detaillierte Informationen können in der Literatur (z.B. [35], [43])
gefunden werden. Die k · p-Methode ermöglicht die Berechnung der Dispersionsre-
lation in der Umgebung eines Extrempunktes der Bänder z.B. dem Γ-Punkt, ohne
den Einfluss externer Felder zu berücksichtigen. Die EFA ist als Erweiterung der k ·
p-Methode unter Einschluss von externen magnetischen- und elektrischen Feldern zu

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