Mavzu: xarakteristik funksiyalar va har XIL tipdagi taqsimotlar

3- teorema. Taqsimot funksiya o`z xarakteristik funksiyasi bilan bir qiymatli aniqlanadi.

Haqiqatan, ham (5) formuladan funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida

bo`ladi.

Endi biz markaziy limit teoremalarni isbotlashda muhim o`rin tutadigan uzluksiz moslik haqidagi teoremalarni keltiramiz:

Ta`rif: , lar taqsimot funksiyalar va uzluksiz, chegaralangan funksiya bo`lsin, agar

bo`lsa, taqsimot funksiyalar ketma-ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi deyiladi.

4 – teorema (to`g`ri limit teorema). Agar taqsimot funksiyalar ketma- ketligi biror taqsimot funksiyaga sust yaqinlashsa, ularga mos xarakteristik funksiyalar ketma- ketligi xarakteristik funksiyaga ning har bir cheki oralig`ida tekis yaqinlashadi.

(Teskari limit teorema). Agar xarakteristik funksiyalar ketma-ketligi uzluksiz bo`lgan biror funksiyaga intilsa, bu xarakyeristik funksiyalarga mos taqsimot funksiyalar ketma- ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi va

bo`ladi.

 [5] 125-129; [6] 100-102; [9] 129-130    

 [5] 125-129; [6] 100-102; [9] 130-131    

 [5] 125-129; [6] 100-102; [9] 131-132    

 [5] 125-129; [6] 100-102; [9] 131-132

        ehtimollik fazosida   tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:

                        (5)

bu yerda  t-haqiqiy son,   esa   ning taqsimot funksiyasi. Agar   tasodifiy miqdorning  zichlik  funksiyasi   mavjud bo’lsa,  u holda

bo’ladi,  bu esa   funksiya Fur’e  almashtirishning  o’zidir.

Umuman olganda,   xarakteristik funksiya   taqsimot funksiyaning  Fur’e-Stilt’es  almashtirishdir.

Ushbu                                          

tengsizlikdan  ixtiyoriy   tasodifiy miqdorning  xarakteristik  funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi.

         Bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy miqdorlar  yig’indisining  xossalarini o’rganishda  xarakteristik  funksiyalar  metodi  juda qulay  metodlardan  biri hisoblanadi.

1.            Ihtiyoriy   tasodifiy  miqdor  uchun    va barcha  t lar uchun  .

2.     

Darhaqiqat,  

3.     Agar   o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy  miqdorlar bo’lsa,  u holda     yig’indining  xarakteristik  funksiyasi       ga teng.

         Isbot.

4.         xarakteristik funksiya   da tekis  uzluksizdir.

Isbot.

Bu yerda berilgan   uchun N  ni tanlash  hisobiga   qilish mumkin,  so’ngra   ni shunday  tanlashimiz mumkinki,    bo’ladi, natijada     

5.      bu year funksiya ustidagi chiziqcha kompleks qo’shmani bildiradi. Bu xossaning isboti

                                      

tenglikdan kelib chiqadi.


III. XULOSA

Xarakteristik funksiyaning navbatdagi xossasini keltirishdan avval quyidagilarni izohlab o‘tamiz: Ma’lumki, tasodifiy miqdor ning momentlari mavjud bo‘lishi, unga mos keluvchi taqsimot funksiyasi ning da nolga intilishi tartibiga bog‘liq bo‘ladi. Quyidagi xarakteristik funksiyaning xossasidan kelib chiqadiki, tasodifiy miqdorlarni momentalarini mavjud bo‘lishi, ularning xarakteristik funksiyalarini nol atrofidagi asimptotikasiga bog‘liq bo‘lar ekan.

Yana bir italiyalik algebraist Nikkolo Tartalya, Patsiolining pul tikish masalasini yechishda yondashishini tanqid qildi: oxir-oqibat, agar o'yinchilardan biri bitta ochkoni qo'lga kirita olmagan bo'lsa, Pacioli algoritmi raqibiga to'liq tiklanishni beradi, ammo bu juda adolatli, chunki g'alaba qozonish uchun ba'zi imkoniyatlar mavjud. lagger hali ham bor. Kardano va Tartalya o'zlarining bo'linish usullarini taklif qilishdi, ammo keyinchalik bu usullar ham muvaffaqiyatsiz deb topildi

Ehtimol ehtimollik nazariyasining matematik apparati takomillashishda davom etdi. O'sha paytda uni qo'llashning asosiy sohasi tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan kuzatuvlar natijalarini matematik qayta ishlash, shuningdek sug'urta biznesidagi xavflarni hisoblash va boshqa statistik ko'rsatkichlar edi. Ehtimollik nazariyasi va 19-asrning matematik statistikasining asosiy amaliy muammolaridan quyidagilar:

Xuddi shu (ma'lum) taqsimot qonuniga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi berilgan chegaralar ichida bo'lishi ehtimolini toping. Ushbu muammo o'lchov xatolar nazariyasi uchun, birinchi navbatda, kuzatishlar xatolarini baholash uchun alohida ahamiyatga ega edi;

tasodifiy qiymatlar yoki bunday qiymatlar seriyasidagi farqlarning statistik ahamiyatini aniqlash. Misollar: yangi dori haqiqatan ham yaxshiroq yoki yo'qligini aniqlash uchun yangi va eski dorilarni qo'llash natijalarini taqqoslash;