Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

DİDAKTİK MATERİALLAR


I məşğələ

1. 
   İkilik prinsipinin kəşf edilməsi haqqında tarixi məlumat (J.V.Ponsele)
   
2. 
   Ikilik prinsipinin həndəsədə və digər elmlərdə tətbiqi
   
3. 
   Kiçik ikilik prinsipi
   
4. 
   Böyük ikilik prinsipi
   

1. 
   İkilik prinsipinin mahiyyəti bundan ibarətdir ki, hər hansı bir doğru mülahizədə iştirak edən anlayışları həmin anlayışlarla ikili olan digər anlayışlarla əvəz edərək yenə də doğru mülahizə alınsın.
   

İkilik prinsipi elmə fransız alimi J.V.Ponsele tərəfindən gəti-rilmişdir. 1812-ci ildə Napoleon ordusunun məğlubiyyətindən sonra Rusiyanın Saratov şəhərinə əsir düşmüş gənc zabit Ponsele elə əsirlikdə ikən özünün “Proyektiv fiqurların xassələrinin öyrənilməsi” traktatını yazır və burada ilk dəfə həmin prinsipin mahiyyətini açıqlayır.
İkilik prinsipi bir çox elm sahələrində tətbiq edilə bilər: pro-yektiv həndəsədə, riyazi məntiqdə, çoxluqlar nəzəriyyəsində, astronomiyada, fizikada və s.

2. 
   İkilik prinsipindən istifadə etmək üçün həndəsədə mütləq olaraq qeyri-məxsusi elementlər - sonsuz uzaq nöqtə və sonsuz uzaq düz xətt anlayışları daxil edilməlidir.
   

Fərz etsək ki, paralel düz xətlər sonsuz uzadıldıqda kəsişirlər, onda onların kəsişmə nöqtəsi sonsuz uzaq nöqtə olacaq. Həmçinin fərz etsək ki, sonsuz uzaq müstəvilər kəsişirlər, onların kəsişmə düz xətti sonsuz uzaq düz xətt olacaq.
Sonsuz uzaq nöqtənin əlavə edildiyi müstəvi proyektiv müs-təvidir. Sonsuz uzaq düz xəttin əlavə edildiyi fəza proyektiv fəzadır. Proyektiv müstəvini və proyektiv fəzanı öyrənən həndəsə proyektiv həndəsə adlanır. Evklid həndəsəsinin bütün mülahizələri proyektiv həndəsədə də doğrudur, üstəlik proyektiv həndəsənin özünə məxsus olan bəzi əlavə mülahizələri də vardır.
Həndəsədə iki növ ikilik prinsipindən istifadə edilir – proyektiv müstəvidə kiçik ikilik prinsipi və proyektiv fəzada böyük ikilik prinsipi.

3. 
   Kiçik ikilik prinsipinə görə:
   

Müstəvidə hər bir mülahizəni onunla ikili olan mülahizə ilə əvəz etmək üçün nöqtə anlayışı düz xətt, düz xətt anlayışı nöqtə ilə əvəz edilməlidir.
Məsələn.

• 
  İkili aksiomlar. İki nöqtədən bir düz xətt keçirmək olar. (İki düz xətt bir nöqtədə kəsişir.)
  
• 
  İkili həndəsi fiqurlar.Bucaq –iki düz xətt və onlar arasında qalan müstəvi hissəsidir. (Düz xətt parçası – iki nöqtə və onlar arasında qalan düz xəttin hissəsidir.) Üçbucaq və kvadrat öz-özü ilə ikili olan fiqurlardır.
  
• 
  Düzbucaqlı romb ilə ikili fiqurdur. Belə ki, düzbucaqlı – bütün bucaqları bərabər olan paraleloqramdır. Romb isə bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqramdır.
  

4. Böyük ikilik prisipinə görə, fəzada hər bir mülahizəni onunla ikili olan mülahizə ilə əvəz etmək üçün nöqtə anlayışı müstəvi, müstəvi anlayışı nöqtə ilə əvəz edilməlidir.
Məsələn. İkili aksiomlar:

1. 
   İki nöqtə bir düz xəttə aid olur. (İki müstəvi bir düz xətt üzrə kəsişir)
   
2. 
   a düz xətti və onun üzərində olmayan A nöqtəsindən həmişə bir müstəvi keçirmək olar. (Müstəvi və onun üzərində olmayan düz xətt bir nöqtədə kəsişə bilər.)
   
3. 
   Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir müstəvi keçirmək olar. (Eyni bir düz xətt üzrə kəsişməyən üç müstəvi bir nöqtədən keçir.)
   

İkili həndəsi fiqurlar:

fiqur			İkili fiqur
Təpələ-rin sayı	Üzlərinin sayı	Fiqurun adı	Təpələrin sayı	Üzlərinin sayı	Fiqurun adı
4	6	Tetraedr (6 til)	4	6	Tetra-edr (6 til)
8	6	Kub (12 til)	6	8	Okta-edr (12 til)
?	?	dodekaedr	?	?	?

Tapşırıq. ? işarəsinin yerində hansı fiqurun adı və ona aid hansı məlumatlar olmalıdır?