Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

«Bütün teoremləri iki sütunda yazmaq olar – sütunların birində teoremin özü, digərində onunla ikili teorem».
D.Hilbert, F.Kleyn, Morduxay-Boltovskiy, İ.M.Yaqlom, İ.Henritsi və P.Treytleyn, M.Çernyayev və başqaları ikilik prinsi­pindən istifadə ilə bağlı elmi tədqiqatlar aparmış, hətta bu prinsipə əsaslanaraq məktəb kursu üzrə dərsliklər hazırlamışdılar. Bəzi elmi ədəbiyyatlarda ikili xarakterə malik olan teoremlər konfiqurasiyalı teoremlər də adlandırılmışdır. B.Arqunov və L.Skornyakov qeyd edirdilər ki, konfiqurasiyalı teoremlər əslində qədim dövrlərdən bəri məlum idi. Lakin müasir dövrdə həndəsə elminin inkişafı bu teoremlərdən istifadə edilməsinə daha geniş imkanlar açdı. Onların mərkəzi proyeksiyalama zamanı alınan qeyri-məxsusi elementlərdən – proyektiv düz xətt, proyektiv müstəvi anlayışlarından istifadə etmələri əslində proyektiv həndəsədən bizə məlum olan sonsuz uzaq düz xətt və sonsuz uzaq müstəvi anlayışları idi. Qeyri-məxsusi nöqtə ilə tamamlanmış düz xəttə proyektiv düz xətt, qeyri-məxsusi nöqtə və qeyri-məxsusi düz xətlə tamamlanmış müstəviyə isə proyektiv müstəvi adı verilmişdi. Müəlliflər qeyd edir ki, proyektiv düz xətt çevrəni xatırladır. Doğrudan da, çevrənin hər bir nöqtəsinə proyektiv düz xəttin bir nöqtəsini qarşı qoymaq olar. Şəkildən göründüyü kimi,O nöqtəsi öz-özünə, çevrənin üzərində götürülmüş S nöqtəsi isə sonsuz uzaq nöqtəyə çevrilir. (şək.24)

S



C^/

O

A



A^/

B

C



B^/

Şək.24

Teorem. İxtiyari iki müxtəlif nöqtədən yalnız və yalnız bir proyektiv düz xətt keçirmək olar.
Üç hal mümkündür – 1) hər iki nöqtə adi nöqtələrdir, 2) hər iki nöqtə qeyri-məxsusidir, 3) nöqtələrdən biri adi, digəri qeyri-məxsusidir.
I halda müstəvi üzərindəki iki müxtəlif nöqtədən elementar həndəsə aksiomuna görə yalnız bir düz xətt keçirmək olar. İkinci qeyri-məxsusi düz xətt götürsək, belə düz xətt verilmiş adi nöqtə-lərdən keçə bilməz. Onda verilmiş iki adi nöqtədən yalnız bir düz xəttin keçə bilməsi alınır.
II halda verilmiş nöqtələr sonsuz uzaq düz xətt ilə birləşdirilmişdir. Bütün yerdə qalan düz xətlər heç olmasa bir qeyri-məxsusi nöqtəyə malik olduqlarından, onlar verilmiş hər iki nöq-tədən eyni vaxtda keçə bilməzlər.
III halda A ilə adi nöqtəni, B ilə qeyri-məxsusi nöqtəni işarə edək. B nöqtəsi hər hansı bir b düz xəttinə aid olsun. a proyektiv düz xətti A və B nöqtələrini yalnız və yalnız o zaman birləşdirə bilər ki, a adi düz xətt kimi b düz xəttinə paralel olsun və A nöqtəsindən keçsin. Aydındır ki, belə düz xətt yoxdur. Paralellik aksiomundan alınır ki, AB düz xətti yeganədir.
Fransız riyaziyyatçısı J.Dezarq proyektiv həndəsənin əsas teoremlərindən biri olan Dezarq teoremini isbat etmişdir. Dezarq teoremi ikilik prinsipinin ən qabarıq şəkildə təzahür edildiyi teorem-lərdən biridir.
Teorem. (Dezarq) ABC və A₁B₁C₁ üçbucaqlarının uyğun tərəflərinin kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədirsə, bu üçbu-caqların uyğun təpələrini birləşdirən düz xətlərin bir nöqtədə kəsişməsi zəruri və kafidir. (şək. 25)



Şək.25
D.Hilbert göstərmişdir ki, Dezarq teoremi metrik aksiomlarsız müstəvi üzərində isbat edilə bilməz. Buna görə də müstəvi üzərində proyektiv həndəsənin aksiomatik qurulmasında Dezarq teoremi şərti aksiom kimi götürülür.
Həndəsi anlayışların mənimsədilməsində ikilik prinsipindən istifadə etmək məqsədəuyğundur. Məsələn, şagirdləri dördbucaqlı ilə tanış edərkən bu fiqurun 4 tərəfi və 4 bucağı olduğu qeyd edilir. Bu zaman şagirdlərdən soruşula bilər ki, bəs müstəvi üzərində ixtiyari 4 nöqtənin birləşməsindən dördbucaqlı alına bilərmi? Deməli, tərifdə 4 nöqtənin birləşdirilməsi qaydası qeyd olunmalıdır. Nöqtələr ardıcıl şəkildə birləşdirilmədikdə 4 deyil, 5 və ya 6 parça alınır. Analoji qaydada paraleloqram, romb, kvadrat, düzbucaqlı və trapesiyanın təsvirlərində də bu hallar nəzərdən keçirilə bilər. Şagirdlərə izah olunur ki, 4 nöqtənin birləşməsindən digər müstəvi fiqurları - antipapaleloqram, antitrapesiya, dördtərəfli (şək.26) kimi fiqurlar da alına bilər.

Şək.26

Məlumdur ki, üçbucaqda böyük tərəf qarşısında böyük bucaq durur (teorem). İkilik prinsipini tətbiq etsək, alarıq ki, üçbucaqda böyük bucaq qarşısında böyük tərəf durur. Beləliklə, bir mövzunun daxilində didaktik vahidlərin artırılmasına və şagirdlərin biliklərinin dərinləşdirilməsinə nail olmaq mümkündür.
Müstəvinin polyar çevrilməsi haqqında aşağıdakı teoremə baxaq. Əvvəlcə çevrəyə nəzərən polyar düz xətt və polyus nöqtəsi anlayışlarını daxil edək.
P nöqtəsi çevrənin xaricində yerləşirsə, onda bu nöqtədən çevrəyə iki toxunan çəkmək olar. Bu halda polyar düz xətt çevrənin həmin düz xətlərlə (toxunanlarla) toxunma nöqtələrindən keçən düz xətdir.
P nöqtəsi çevrənin üzərində yerləşirsə, onda polyar düz xətt P nöqtəsindən çevrəyə çəkilmiş toxunan olur.
Teorem.Əgər A nöqtəsi B nöqtəsinin polyarı olan b düz xətti üzərində yerləşirsə, onda B nöqtəsi A nöqtəsinin polyarı olan a düz xətti üzərində yerləşir. (şək.27)
Buradaa düz xətti A nöqtəsinin çevrəyə nəzərən polyarı adla-nır. A nöqtəsinin özü isə polyus adlanır. Burada A nöqtəsi çevrənin həm daxili, həm də xarici oblastında, həm də üzərində yerləşə bilər.





B



a



M



N

b



Q

A



M₁

N₁

Şək.27

İsbatı. Tutaq ki, A nöqtəsi çevrənin daxili oblastında yerləşir. Onda aydındır ki, B nöqtəsi çevrənin xaricində yerləşəcək, əks halda B nöqtəsinin polyarı olan b düz xətti çevrədən xaricdə yerləşərdi. A nöqtəsi teoremin şərtinə görə B nöqtəsinin polyarında yerləşdiyindən, B nöqtəsindən çevrəni M, M₁, N, N₁ nöqtələrində kəsən elə düz xətlər keçirək ki, A nöqtəsi MM₁NN₁ dördbucaqlısının diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun. Onda A nöqtəsinin polyarı BQ düz xətti olacaq, harda ki, Q – MN və M₁N₁ düz xətlərinin kəsişmə nöqtəsidir. Buradan alınır ki, A nöqtəsinin polyarı B nöqtəsindən keçir. Teoremi analoji qayda ilə digər iki hal üçün də isbat etmək olar – A nöqtəsi çevrənin xaricində yerləşdikdə və A nöqtəsi çevrə üzərində yerləş-dikdə.
Qeyd edək ki, A nöqtəsinin çevrəyə nəzərən polyarının və polyus nöqtəsinin qurulması təkcə xətkeşin köməyilə (pərgar olmadan) yerinə yetirilə bilər.
Həndəsənin cəbri əsaslarla öyrədilməsi ideyası müasir dövrdə ən aktual və həm modelləşdirmə, həm də bunun əsasında proqram-laşdırma elementlərinin tətbiq edilməsi üçün geniş imkanlar yaradan bir ideyadır. Nəzərə alsaq ki, hələ XII əsrdə R.Dekart tərəfindən əsası qoyulan analitik həndəsənin əsasında nöqtələrin ədədlər vasi-təsilə göstərilməsi fikri durur, bu ideyanın səmərəliliyi şübhə doğura bilməz. Hətta çox qədim tarixə nəzər salsaq, hələ b.e.ə. VI əsrdə Pifaqor ədədlər vasitəsilə həndəsi fiqurları qarşılaşdırmış, “üçbucaq ədəd”, “kvadrat ədəd”, “beşbucaqlı ədəd” və s. anlayışları daxil etmişdir.