Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Aksiom 8. Eyni bir düz xətlə insident olmayan üç müstəvi onlarla insident olan yalnız və yalnız bir nöqtəni təyin edir. Başqa sözlə desək, əgər üç müstəvi bir düz xətt üzrə kəsişmirsə, onda onlar bir nöqtədə kəsişir. Evklid həndəsəsində bu aksioma görə, eyni bir düz xətt üç müstəviyə paralel ola bilməz. Proyektiv həndəsədə bu o deməkdir ki, paralel olmayan üç müstəvi eyni bir düz xəttə paraleldirsə, bu müstəvilər cüt-cüt üç paralel düz xətt üzrə kəsişirlər. Digər tərəfdən həmin düz xətlərin sonsuz uzaq ortaq nöqtəsi vardır və bu nöqtə verilmiş müstəvilər ilə insidentdir.
Aksiomlar sistemini verdikdən sonra proyektiv həndəsədə ikilik prinsipindən danışmaq olar. Doğrudan da, 3-cü aksiomda müstəvi sözünü nöqtə sözü ilə əvəz etsək, 4-cü aksiom alınar. 5-ci aksiomda müstəvi sözünün yerinə nöqtə yazsaq, nöqtə sözünü isə müstəvi sözü ilə əvəz etsək, 6-cı aksiom alınar. Eyni çevirməni ilə 7-ci və 8-ci aksiomlara da aid tətbiq etmək olar.
İndi isə 1-ci və 2-ci aksiomlara baxaq. Aksiom 1-ə görə,
1) A~a  a ~ A. Nöqtə və müstəvi sözlərini yerini dəyişək. A nöqtəsi yerinə α müstəvisi yazaq. Onda alarıq:
α~a  a ~α - Bu isə Aksiom 1 qrupundakı 2-ci aksiomdur.
Asanlıqla yoxlamaq olar ki, belə çevirmə nəticəsində 3-cü aksiom 4-cüyə, 4-cü aksiom 3-yə, 5-ci aksiom 6-ya, 6-cı aksiom 5-yə, 7-ci aksiom 8-yə, 8-ci aksiom isə 7-yə çevrilir.
Aksiomların belə struktur əsasında bir-birinə çevrilmələri ikilik prinsipinin ödənməsi deməkdir. Bu isə öz növbəsində həmin aksiomlar əsasında isbat edilən teoremlərin də bir-birlərinə çevrilmələrinə səbəb olur.
Parça və bucaqların ölçülməsinə aid olan aksiomlar da ikili xarakterə malikdir:
Parçanın uzunluğu onun ixtiyari daxili nöqtəsi ilə bölündüyü parçaların uzunluqları cəminə bərabərdir.
Bucağın dərəcə ölçüsü bucağın tərəfləri arasından keçən ixtiyari şüa ilə bölündüyü bucaqların dərəcə ölçülərinin cəminə bərabərdir.
Proyektiv həndəsədə ikilik prinsipi də məhz bundan ibarətdir – bütün aksiomlar və bunun nəticəsində də həmin aksiomlar əsasında isbat edilən bütün teoremlər ikili xarakterə malikdir. Lakin Evklid həndəsində bu imkan məhdudlaşır –belə ki, paralel müstəvilər əvəzinə paralel nöqtələr demək doğru deyil. Belə bir sual yaranır – bəs proyektiv həndəsədə paralel nöqtə anlayışı varmı? Proyektiv həndəsə ümumiyyətlə, paralellik yoxdur – nə müstəvilər, nə də nöqtələr paralel olmur. İkilik prinsipi isə onun nəticəsində tətbiq edilir ki, burada sonsuz uzaq obyekt(nöqtə, düz xətt, müstəvi) anlayışından istifadə edilir.
Proyektiv həndəsədə hər bir mülahizəyə onunla ikili olan mülahizə uyğundur. Mülahizə onunla ikili xarakterdə olan mülahi-zənin köməyilə isbat edilir. Belə xarakterli teoremlərə misal olaraq Paskal və Brionşan teoremlərini göstərmək olar.
Paskal teoreminə görə, 2-ci tərtib əyri daxilinə çəkilmiş hər bir 6 bucaqlı fiqurda qarşı tərəflərin kəsişmə nöqtələri eyni düz xətt üzərində yerləşir. Brionşon teoreminə görə isə, 2-ci tərtib əyri daxilinə çəkilmiş hər bir 6 bucaqlının qarşı təpələrini birləşdirən düz xətlər eyni nöqtədə kəsişir.
Məni maraqlandıran məsələlər bundan ibarətdir:
- Məktəb həndəsə kursunun tədrisində teoremlərin isbatında, məsələ həllində ikilik prinsipi özünü necə göstərə bilər?
- Bu prinsipdən istifadə etməklə məktəb həndəsə kursunda metodik sistemi təkmilləşdirmək və sadələşdirmək olarmı?
- Ali pedaqoji məktəblərdə gələcək riyaziyyat müəllimlərinin hazırlanması üçün ikili prinsiplərə əsaslanan həndəsə kursunun tədrisi nə dərəcədə səmərəli ola bilər?
Planimetriyada, yəni müstəvi üzərində əsas ikili obrazlar kimi nöqtə və düz xətti götürmək olar. “Nöqtə düz xəttin üzərində yerləşir” və “düz xətt nöqtədən keçir” mülahizələri isə ikili və ya qoşma mülahizələr olar. Və yaxud, “iki düz xətt bir nöqtədə kəsişir” və “iki nöqtədən bir düz xətt keçirmək olar”. Deməli, nöqtə və düz xətt ikili anlayışlardır.
Nöqtə və düz xətt anlayışlarından istifadə edərək, müstəvidə digər ikili anlayış və münasibətlərə misal olaraq aşağıdakıları göstərə bilərik.

• 
  bucaq - tərəf (ortaq başlanğıcı olan iki düz xətt arasındakı hissə və iki nöqtə arasındakı hissə)
  

- üçbucağın medianı – tənböləni (üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçası və üçbucağın tərəfini qarşı bucağın ortası ilə birləşdirən parça)

• 
  düzbucaqlı – romb (bütün bucaqları bərabər olan dördbu-caqlıya düzbucaqlı, bütün tərəfləri bərabər olan dördtərəfliyə (dörd-bucaqlıya) romb deyilir).
  
• 
  paraleloqram – antiparaleloqram (qarşı tərəfləri cüt-cüt para-lel olan dördbucaqlı – qarşı bucaqları bərabər, lakin qarşı tərəfləri antiparalel, yəni paralel olmayan dördtərəfli və ya qarşılıqlı bucaqları bərabər olan dördtərəfli (şək.20)
  

Şək.20

Beləliklə, ABC üçbucağı üç kollinear olmayan A, B və C nöqtələrindən və onları birləşdirən AB, BC və CA düz xətt parçalarından – tərəflərdən ibarətdir. ABC müstəvisi C nöqtəsini AB düz xətti üzərində yerləşən bütün nöqtələrlə birləşdirən düz xətlərdən ibarətdir. Müstəvi üzərində 4 nöqtəni cüt-cüt birləşdirsək, 6 xətt alınar. Bu xətlər isə 6 bucaqlının tərəfləri adlanır. Ortaq təpəsi olmayan tərəflərə altıbucaqlının qarşı tərəfləri deyilir. Qarşı tərəflərin kəsişmə nöqtəsinə diaqonal nöqtəsi deyilir.
Məktəb həndəsə kursunda ikili xarakterli teoremlərə aid üçbucaqların 1-ci və 2-ci bərabərlik əlamətlərini (TTB və TBB), 1-ci və 2-ci oxşarlıq əlamətlərini, Menelay və Çeva teoremlərini göstərə bilərik. Lakin heç də bütün teoremlər ikili xarakterə malik deyil. Məsələn, üçbucaqların bərabərliyinin III əlaməti kimi.
1-2-ci əsrlərdə İsgəndəriyyədə yaşamış Menelay qədim yunan astronomu və riyaziyyatçısıdır. Onun əsas tədqiqatları sferik triqonometriyaya aiddir. Onun “Sferika”, “Həndəsənin elementləri”, “Üçbucaqlar haqqında kitab” əsərlərinin 6 kitabı ərəb mənbələrindən məlumdur. Sferik üçbucağın tərifini və xassələrini ilk dəfə Menelay vermiş və adı çəkilən teoremi məhz sferik üçbucaqlar üçün isbat etmişdir. Məktəb həndəsə kursunda Menelay teoremi müstəvi üzərində təsvir edilmiş üçbucaq üçün isbat edilir: