Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Riman həndəsəsi (elliptik həndəsə) Elliptik həndəsədə düz xətlər ellipsoidin səthi adlandırılan səth və ya elliptik müstəvi üzərində yerləşir. Ellips – fokus adlandırılan iki nöqtədən məsafələri cəmi bərabər olan nöqtələr çoxluğuna deyilir. (şək.9)





F₂

F₁

Şək.9

Dairə ellipsin xüsusi halıdır – hər iki fokus nöqtəsi üst-üstə düşdükdə ellips dairə olur.

Ellipsoid – ellipsin öz simmetriya oxlarından biri ətrafında fır-şlanması nəticəsində alınan fəza cismidir. Yer kürəsi əslində ellipsoid formasındadır – sadəlik üçün onu kürə formasında təsvir etmək qəbul edilmişdir. Ellipsoid üzərində yerləşən üçbucağın bu-caqları cəmi Evklid həndəsəsindən fərqli olaraq 180 dərəcədən böyük olur. Evklidin V postulatı isə bu həndəsədə belə ifadə olunur:
Verilmiş düz xəttin üzərində olmayan nöqtədən həmin düz xəttə heç bir paralel düz xətt çəkmək olmaz.
Sferik həndəsə elliptik həndəsənin xüsusi, daha sadə halıdır. Sfera – çevrənin diametri ətrafında fırlanmasından alınan fiqurdur. Əgər müstəvi sferanı yalnız bir nöqtədə kəsirsə, onda bu müstəviyə sferaya toxunan müstəvi deyilir, əks halda bu müstəvi sferanı kəsən müstəvi adlanır. Kəsən müstəvi sferanın mərkəzindən keçirsə, onun sfera ilə kəsişməsi sferanın böyük çevrəsi adlanır. Sferanın üzərində yerləşən elə iki A və B nöqtələrinə baxaq ki, onları birləşdirən düz xətt parçası sferanın mərkəzindən keçsin. Bu halda A və B nöqtələri diametral simmetrik və ya qarşılıqlı nöqtələr adlanır. AOB diamet-rindən keçən bütün böyük çevrələr meridian, A və B nöqtələri isə polyus nöqtələri adlanır. Hər bir A və B nöqtələr cütü üçün AOB diametrinə perpendikulyar olan bir çevrə vardır ki, bu çevrəyə də ekvator çevrəsi deyilir. Aydındır ki, sferanın iki böyük çevrəsi onu dörd bərabər hissəyə bölür. (şək.10)







Şək.10

Sferanın üzərində götürülmüş üç böyük çevrə bir-birilə kəsişdikdə, onlar sferik üçbucaq əmələ gətirir. (Şək.11)

A







C

B

Şək.11

Sferik səth üzərində yerləşən və sferanın böyük çevrələri olan düz xətt iki nöqtəsi ilə, müstəvi üç nöqtəsi ilə verilir, düz xətt qapalıdır və bu səbəbdən düz xətt üzərində götürülmüş üç nöqtə üçün “arasında yerləşir” münasibəti ödənmir, düz xətt üzərindəki iki nöqtə iki düz xətt parçasını müəyyən edir, iki müstəvi bir düz xətt üzrə kəsişir və s. Lakin bu həndəsədə paralel düz xətlər mövcud deyil, çünki sferik səthin iki böyük çevrəsi diametral qarşılıqlı nöqtələrdə kəsişirlər.
Sferik həndəsədə üçbucağın bucaqları cəmi sabit deyil, 180 dərəcədən böyükdür, π-dən 3π-yə qədər dəyişir.Bu həndəsənin əsas anlayışları – aid olma (nöqtənin düz xəttə, nöqtənin müstəviyə aid olması), tərtib və bərabərlik anlayışlarıdır. Bu həndəsə Evklid həndəsəsi ilə bir çox eyni teoremlərə və mülahizələrə malikdir. Məsələn, üçbucaq bərabərsizliyi (üçbucağın hər bir tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçik, fərqindən böyük olmalıdır), bərabəryanlı üçbucağın xassəsi, üçbucağın median, hündürlük və tənbölənlərinin bir nöqtədə kəsişmələri, üçbucaqların bərabərlik əlamətləri. Əlavə olaraq, bu həndəsədə üçbucağın dördüncü bərabərlik əlaməti də mövcuddur: bir üçbucağın üç bucağı digər üçbucağın üç bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir. Bu onu göstərir ki, Riman həndəsəsində oxşarlıq çevirməsi yoxdur. Bu həndəsədə üçbucaqların ilk iki və növbəti iki bərabərlik əlamətləri bir-birilə ikilidir: BBT və TTB əlamətləri bir-birilə, TTT və BBB əlamətləri də bir-birilə ikili əlamətlərdir.
Sfera üzərində yerləşən iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafə geodezik xətti təyin edir. Sferik həndəsədə hər bir düz xəttin və ya geodezik xəttin πr-ə bərabər olan sonlu uzunluğu, müstəvinin isə sonlu sahəsi var. Sferik həndəsəni Evklid həndəsəsindən ayıran ən mühüm cəhət də elə bundan ibarətdir. Bunu aydınlaşdıraq. Biz bilirik ki, Evklid həndəsəsində iki düz xəttin birdən artıq kəsişmə nöqtəsi ola bilməz. Lakin sferanın iki böyük çevrəsi iki nöqtədə - diametrə nəzərən simmetrik olan nöqtələrdə kəsişir.Məhz bu cəhətdən sferik həndəsə həm Evklid, həm də Lobaçevski həndə-səsindən əsaslı şəkildə fərqlənir. Əgər nöqtə kimi sfera üzərində diametral simmetrik yerləşən iki nöqtəni götürsək, bu nöqtələr çoxluğu elə sferik səthi – Riman müstəvisini verəcək. Riman müstə-visində iki nöqtə arasındakı məsafə olaraq sferanın iki uyğun nöqtəsi arasında qalan və sferanın böyük çevrəsinin dörddə bir hissəsini aşmayan məsafə götürülür.
Sferik həndəsədə iki perpendikulyar geodezik xətt səkkiz düz bucaq əmələ gətirir. Sferik üçbucağın 1, 2 və ya 3 düz bucağı ola bilər.
1854-cü ildə yaranan Riman həndəsəsi 1915-ci ildə A.Eynşteynin nisbilik nəzəriyyəsindəki tətbiqindən sonra daha çox inkişaf etdi və keçən əsrin sonlarında fizika və mexanikada uğurla istifadə edildi.