Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

§4. Qeyri-Evklid həndəsələri haqqında

Evklidin V paralellik postulatından imtina etməklə qeyri-Evklid həndəsələrini almaq olur. Qeyd edək ki, qeyri-Evklid həndə-səsi dedikdə yalnız Lobaçevski həndəsəsi nəzərdə tutulmur. Müasir həndəsə elmində bir neçə qeyri-Evklid həndəsəsi məlumdur.

Qeyri-Evklid həndəsəsinin yaranmasında görkəmli Azərbay­can alimi və mütəfəkkiri Nəsirəddin Tusinin böyük rolu olub. Belə ki, ilk dəfə olaraq Tusi göstərmişdir ki, kainatda (fəzada) paralel xətlər arasındakı məsafələr çox böyük olduğu halda, onlar kəsişə bilərlər. Bu məsələ ilə sonralar Koşi, Qauss, Bolyayi, Lobaçevski məşğul olmuşlar. Tusinin əsərləri yalnız XVI əsrin sonunda Romada çap etdirilir və latın dilinə tərcümə olunur. Bu əsərlər XVII əsrdə bir çox Avropa riyaziyyatçılarına çox böyük təsir göstərir.
Lobaçevskinin xahişi ilə əslən azərbaycanlı, lakin Rusiyanın vətəndaşı olan Mirzə Kazım bəy N.Tusinin əsərlərini rus dilinə tərcümə etmiş, bunun nəticəsində isə N.Lobaçevski qeyri-Evklid həndəsəsini yaratmışdır.
XIX əsrin əvvəllərində K.Qauss, N.Lobaçevski, Y.Bolyayi tə-rəfindən kəşf edilən ilk qeyri–Evklid həndəsəsi göstərdi ki, bu həndəsələrin hər ikisinin – həm Evklid, həm də qeyri-Evklid həndə-səsinin eyni zamanda mövcud olması və qəbul edilməsi mümkündür. XIX əsrdə həndəsi nəzəriyyənin xeyli inkişaf etməsi və bu nəzəriy.-yəyə yeni elmi baxışların yaranması nəticəsində digər həndəsələrin də mövcudluğu məsələsi qabarıldı. Belə ki, 1854-cü ildə alman riyaziyyatçısı B.Riman orta məktəbdə öyrədilən həndəsəyə çox yaxın olan üç həndəsənin olduğunu göstərdi: bunlardan 1-cisi “adi” Evklid (parabolik) həndəsəsi, 2-cisi N.Lobaçevskinin hiperbolik həndəsəsi, 3-sü isə Rimanın təklif etdiyi elliptik həndəsə idi. Bu siyahı 1870-ci ildə Feliks Kleyn tərəfindən davam etdirildi – o, müstəvi üzərində 9 müxtəlif həndəsənin olduğunu göstərdi. Bu siyahıya yuxarıda adı çəkilən üç həndəsə də daxil idi. Nəhayət, 1872-ci ildə 23 yaşlı alman riyaziyyatçısı F.Kleynin “Erlangen proqramı”nda bütün bu məsələlər tam dəqiqləşdirilərək həndəsəyə ümümi cəbri yanaşma nöqteyi-nəzərindən “ad” verildi. “Həndəsə fiqurların çevirmələr zamanı invariant (dəyışməz) qalan xassələrini öyrənən elmdir.” Erlangen proqramı həndəsənin bir elm kimi inkişafında böyük rol oynadı. F.Kleyn tərəfindən verilən tərifin mənasını açıqlamağa calışaq.
Klassik Evklid həndəsəsi konqruent çevirmələr qrupuna malikdir. Burada invariant kimi uzunluq, bucaq götürülə bilər – çünki bucaq bucağa, düz xətt parçası düz xətt parçasına çevrilir. Kleyn Evklid həndəsəsini parabolik həndəsə adlandırmışdı. Proyek-tiv həndəsədə insidentlik və konik kəsiklər invariant ola bilər. Afin həndəsəsində paralellik invariant olduğu halda, proyektiv həndəsədə ümumiyyətlə, paralellik anlayışı yoxdur. Yəni afin həndəsəsinin invariantı olan paralellik anlayışı proyektiv həndəsədə mövcud deyil.
Çevirmələr qrupunun cəbri xassələrinin öyrənilməsi həndə­sənin hər bir sahəsinə – topologiya, proyektiv, parabolik, analitik (Dekart), sferik, afin və s. həndəsələrin hər birinə aid olan yeni həndəsi xassələri aşkar etməyə imkan yaradır. Bu tərifə uyğun gəlməyən yeganə həndəsə Riman həndəsəsi idi – yalnız 1920-ci ildə Riman həndəsəsi də həmin sistemə uyğunlaşdırıla bildi. Məsələn, məlumdur ki, üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir. Median – afin çevirmələr qrupunun invariantıdır. Belə ki, əgər bərabərtərəfli üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişirsə, afin çevirmədə ixtiyari üçbucaq bərabərtərəfli üçbucağa çevrilir. Ümumiyyətlə, afin çevirmə - müstəvi (fəza) nöqtələri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluqdur. Bu uyğunluqda düz xətt düz xəttə keçir. Oxşarlıq çevirməsi, homotetiya, paralel köçürmə afin çevirməyə misaldır. Bu çevirmədə uyğun müstəvi fiqurların sahələri (fəzada həcmləri) nisbəti sabit olub, çevirmənin determinantının qiymətinə bərabərdir. Afin çevirmədə bütün üçbucaqlar bərabərdir, çünki burada məsafənin dəyişməsi heç bir rol oynamır. Hər hansı bir fiquru sıxsaq və ya genişləndirsək, özü ilə bərabər fiqura çevrilər. (şək. 6)

Şək.6

Beləliklə, Erlangen proqramında ilk dəfə olaraq F.Kleyn tərəfindən müxtəlif həndəsələr vahid bir ideyaya görə cəbri əsaslarla birləşdirildi.
Kleyn fikrini daha sadə formada belə izah edir: Fərz edin ki, proyektiv həndəsədən sonsuz uzaq düz xətti götürdük. Onda yerdə qalan nöqtələr çoxluğu elə afin müstəvini verəcək. Və yaxud, R³Evklid fəzasında mərkəzi O nöqtəsində olan hər hansı bir S² sferasına baxaq. Bu sferik səthə müstəvi səth kimi baxsaq, onda aydın olar ki, bu səthin üzərində yerləşən düz xətlər sferanın O mərkəzindən keçən müstəvi ilə kəsişdiyi çevrələr olacaq. Bu da elə sferik həndəsə elementləridir.Ümumiyyətlə, Evklid həndəsəsinin bütün təklifləri proyektiv həndəsədə də doğrudur. Lakin proyektiv həndəsənin yalnız özünə məxsus olan başqa təklif və teoremləri də vardır.
Maraqlıdır ki, F.Kleyn qeyd etmişdir ki, bütün bu həndəsələr arasında “Proyektiv həndəsə elə bütün həndəsənin özüdür.” Proyektiv həndəsənin əsas prinsipi isə ikilik prinsipidir. Proyektiv çevirmələr qrupuna daxil olan yarımqrupları aşağıdakı kimi göstər-mək olar.



Qeyri-Evklid həndəsələrinin bir neçəsi haqqında ümumi məlumat verək. Bu həndəsələrin hər biri müəyyən ümumi mülahizə və təkliflərə malik olsalar da, fərqli səthlərdə nəzərdən keçiril-diyindən, müxtəlif sistemlərdir. Şəkildə yuxarıdan birinci səth sferik, ikinci hiperbolik, üçüncü isə parabolik - Evklid həndəsəsinə aiddir: (şək.7)




Şək.7