Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

IV qrup. Kəsilməzlik aksiomları. 1) Arximed aksiomu:ixtiyari a və b parçaları üçün a<b olduqda, elə natural n ədədi var ki, na>b. 2) Düz xətt üzərində hər biri özündən sonra gələn parçanı daxilinə alan parçaların sonsuz ardıcıllığı verilmişsə, həmin düz xətt üzərində ardıcıllığın bütün parçalarına daxil olan yeganə nöqtə var.
V qrup. Paralellik aksiomu. a düz xətti və onun üzərində olmayan A nöqtəsi verilmişsə, onların təyin etdiyi müstəvi üzərində A nöqtəsindən a düz xətti ilə kəsişməyən yalnız bir düz xətt keçirmək olar.









Şək.5

Evklidin “Əsaslar” kitabında dördbucaqlıların bəzi növlərinin tərifi, o cümlədən paralellik aksiomu müasir həndəsə kursunda qəbul edilmiş təriflərdən ciddi şəkildə fərqlidir. Bunlardan bir neçəsini qeyd edək.

V postulat.(paralellik aksiomu) İki düz xətt üçüncü düz xətlə kəsişdikdə, onda həmin düz xətlər bir-birilə kəsən düz xətlə əmələ gətirdiyi daxili birtərəfli bucaqların cəmi iki düz bucağın cəmindən kiçik olan tərəfdə kəsişər. (şək.5)

1. 
   Evklidin “Əsaslar” kitabında kvadrata bütün bucaqları düz, bütün tərəfləri bərabər olan dördbucaqlı kimi tərif verilir. Kvadratın bucaqlarının bərabər olması isə bu bucaqların hamısının düz bucaq olması şərtindən bilavasitə alınır.
   
2. 
   Düzbucaqlıya bütün bucaqları düz olan, lakin tərəfləri bərabər olmayan (!) dördbucaqlı kimi tərif verilir. Bu isə o deməkdir ki, Evklidə görə, kvadrat düzbucaqlının xüsusi halı və ya növü deyil, çünki kvadrat düzbucaqlıdırsa, kvadratın bütün tərəfləri bərabər ola bilməz. Lakin dərsliklərdə “kvadrat düzbucaqlıdır” mülahizəsi doğru hesab edilir.
   
3. 
   Evklidin “Əsaslar”ında 1-ci kitab 32-ci tərifdə romb bütün tərəfləri bərabər, lakin düz bucağı olmayan dördbucaqlı kimi tərif edilir. Bu tərifə görə, rombun düz bucağı yoxdursa, deməli, kvadratı rombun bir növü hesab edə bilmərik. Bütün dərsliklərdə, o cümlədən Jak Adamarın məktəb həndəsə kursu üçün yazdığı planimetriya dərsliyində belə “Kvadrat – rombdur“ yazılmışdır. Bu mülahizənin doğru olduğunu qəbul etsək, rombun düz bucağı olmadığı üçün, deməli, kvadratın da düz bucağı ola bilməz.
   
4. 
   Evklid 1-ci kitab 33-cü tərifdə romboidə tərif verir. Bu tərifə görə, romboid qarşı tərəfləri və qarşı bucaqları bərabər olan, lakin heç bir bucağı düz olmayan və bərabərtərəfli olmayan dörd-bucaqlı fiqurdur.
   

5. 36-cı tərifdə paraleloqrama qarşı tərəfləri paralel olan fiqur kimi tərif verilir. Bu tərifə əsasən, məktəb həndəsə kursunda paraleloqramın növləri olaraq düzbucaqlı, kvadrat, romb göstərilməsi düzgündür. Lakin romboid haqqında şagirdlərə məlumat verilmir. Romboid paraleloqramın elə növüdür ki, o, nə düzbu­caqlıdır, nə kvadratdır, nə də rombdur.
Evklid həndəsəsinin aksiomlar sistemini D.Hilbert işləmiş və ardıcıl nəzəri şəklə salmışdır. Evklid həndəsəsinin yaranması bizi əhatə edən aləm haqqındakı əyani təsəvvürlərlə sıx bağlıdır (dartılmış ip, işıq şüaları və s. düz xətti xatırladır), lakin bu həndəsə fəzanın xassələrini təsvir edən yeganə həndəsə sayıla bilməz. Əsrlər boyu Evklid həndəsəsi təkmilləşdirilmiş, müxtəlif dəyişikliklərə məruz qalmışdır. Xüsusən də, bir çox alimlər uzun müddət ərzində Evklidin V postulatını isbat etməyə çalışıblar. N.Lobaçevskinin Ev-klidin V postulatını isbat etmək cəhdi onu və demək olar ki, onunla eyni zamanda macar alimi Y.Bolyayini belə bir nəticəyə gətirib çı-xardı: V postulatdan imtina etdikdə, yeni, qeyri-Evklid həndəsəsi yaranır. Bu həndəsədə:
Verilmiş nöqtədən verilmiş düz xəttə iki paralel düz xətt çəkmək olar.
Bu, əslində çox qeyri-real və mümkün olmayan bir hal kimi görünə bilər, çunki biz bunu kağız üzərində, lövhədə, alışıq oldu­ğumuz müstəvidə təsvir edə bilmərik, lakin məntiqi cəhətdən V postulatdan imtina edərək, qeyri-Evklid həndəsəsində bütün teorem­ləri isbat etmək və bu həndəsəni tam, sistemli şəkildə və ciddi məntiqi ardıcıllıqla qurmaq olar.
Məntiqi olaraq, həm Evklid və həm də qeyri-Evklid həndəsələrinin mövcudluğu insanda belə bir təbii sual yaradır: bu həndəsələrdən hansı maddi aləmdəki obyekt və prosesləri daha real şəkildə əks etdirə bilər? Çünki onların hər ikisi paralel olaraq mövcud ola bilər, lakin V postulatın qəbul edilməsi Evklid həndə-səsinin, bu postulatdan imtina edilməsi isə qeyri-Evklid həndə-sələrinin yaranmasına gətirib çıxarır. Fəlsəfədən bizə məlum olan duallıq və ya ikilik bu məsələdə özünü məhz Evklid və ya qeyri-Evklid həndəsələrinin hər ikisinin eyni zamanda qəbul edilməsi kimi biruzə verir. Fəlsəfi nəzəriyyədə “maddilik, ya mənəviyyat daha üstündür” suallarının cavabı dualistlər tərəfindən onların hər ikisinin qəbul edilməsi kimi cavablandırılır. Bu nəzəriyyə tərəfdarları moni-zmə zidd olaraq, maddi və mənəvi reallıqların vəhdətini qəbul etdikləri kimi, həndəsi nəzəriyyədə də Evklid həndəsəsi real aləmin maddi tərəfini, qeyri-Evklid həndəsələri isə daha çox qeyri-maddi, yəni asanlıqla təsəvvür edilə bilməyəcəyimiz, təsəvvür və təxəy-yülümüzün köməyilə qavraya biləcəyimiz obyekt və prosesləri əks etdirir.
Həndəsi aksiomlar sistemlər isə müəyyən şərtləri ödəməlidir. Həmin şərtlər aşağıdakılardır:

1. 
   Aksiomlar sistemi ziddiyyətsiz olmalıdır. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir aksiomla həmin aksiomun inkarı eyni zamanda doğru ola bilməz. Başqa sözlə, aksiomdan yalan hökmlər çıxarmaq mümkün olmamalıdır.
   
2. 
   Aksiomlar sistemi tam olmalıdır.Tamlıq prinsipinə görə, sistemə daxil olan aksiomlar həmin sistemin qurulması üçün kifayət etməlidir.
   
3. 
   Aksiomlar sistemi asılı olmamalıdır. Bu o deməkdir ki, sistemin heç bir aksiomu həmin sistemin digər aksiomundan alınmamalıdır.
   

Həndəsənin ikili quruluşu ilə fəlsəfi duallığı aşağıdakı sxemlə əlaqəli vermək olar: