Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsi və ikilik prinsipi g I r I Ş

Məntiqi əməl
Ikili məntiqi əməl
konyunksiya	dizyunksiya
dizyunksiya	konyunksiya
Kəsişmə	Birləşmə
Birləşmə	Kəsişmə
Birləşmənin tamamlayıcısı	Tamamlayıcıların kəsişməsi
Kəsişmələrin tamamlayıcısı	Tamamlayıcıların birləşməsi

HƏNDƏSƏNİN AKSİOMATİK QURULUŞU
VƏ MƏKTƏB HƏNDƏSƏ KURSUNUN TƏKMİLLƏŞDİRİLMƏSİ ZƏRURƏTI


§1. Məktəb həndəsə kursunun məntiqi quruluşu

Məktəb həndəsə kursunun təkmilləşdirilməsində qabaqcıl pedaqoq və metodistlərin diqqət mərkəzində olan ən mühüm məsələ - mümkün qədər az vaxt və az enerji sərf etməklə daha çox bilik, ba­ca­­rıq və vərdişləşlərin mənimsədilməsi məsələsi olmuşdur. D.D.Mor­­duxay-Boltovskiy, D.Poya, A.İ.Fetisov, N.Beskin, A.Kisel­yov və başqaları məhz həndəsənin öyrədilməsində müasir dildə «minimaks» - minimal zaman daxilində maksimum biliklərin mə­nim­sədilməsi yollarını araşdırmışlar. D.D.Morduxay-Boltovskinin fikrincə, həndəsənin tədrisinin təkmilləşdirilməsində xüsusi metodi­kanın düzgün təşkil edilməsi və istifadəsi ilə yanaşı, daha bir vacib amil mövcuddur. Bu amil həndəsə kursunun məntiqi quruluşunun nəzərə alınmasıdır. Bunun üçün dərslikdəki materialın formal məntiq qanunlarına uyğunluğu nəzərə alınmalı, həmçinin şagird tərəfindən asan başa düşülməli və sadə, anlaşıqlı dildə izah olunmalıdır. O, həndəsənin məntiqi quruluşunu “həndəsənin quruluşunun psixo­logiyası” adlandırmış və göstərmişdir ki, bu, hansı mövzunun, hansı teorem və ya təklifin bir-birinin ardınca “düzüləcəyi” deməkdir. Təbii olaraq, belə quruluşda əsas prinsiplərin seçilməsi zərurəti yara­nır. Bu məsələni bir az daha dərindən aydınlaşdıraq: məntiqi quruluş nə deməkdir?

Həndəsə müəyyən aksiomlar sistemi əsasında öyrənilir. Aksiomların hər biri ayrı-ayrılıqda konkret fikir, məna daşıyır. Lakin onların hamısı məntiqi əlaqələr zənciri kimi bir-birilə birləşərək, bütöv bir sistem, vahid, tam və bitkin quruluş yaradır. Bu quruluşun əsasında mühakimələr, teoremlər verilir. Fikrimizi aşağıdakı misalla izah edək. “Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.” və “Hər bir kvadrat düzbucaqlıdır.” mülahizələrindən“Kvadratın diaqonalları bərabərdir” mülahizəsi alınır. Bu nəticəyə gəlmək üçün təsəv-vürümüzdə kvadrat və ya düzbucaqlını canlandırmağa ehtiyac qalmır. Formal məntiq qanunlarından istifadə etsək, Əgər “A B-dirsə, B isə C-dirsə, onda A-C-dir” nəticəsini alırıq. Həndəsənin məntiqi quruluşu dedikdə məhz bu fikirlər nəzərdə tutulur.
D.D.Morduxay-Boltovskiy həndəsəyə “məntiq-həndəsə-fəlsə­fə” triadasında baxaraq çox maraqlı nəticələr əldə etmişdi. O, ümu-midən xüsusiyə, cinsdən növə prinsipinə üstünlük verir və nəticələrin alınmasında isə əksinə, xüsusidən ümumiyə prinsipinə dominant prinsip kimi baxır. Beləliklə, fikirlərimizi yekunlaşdıraraq, aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik:



Həndəsə dərliklərində materialın nöqtədən düz xəttə, düz xətdən həndəsi fiqura doğru öyrənilməsi metodikasından istifadə meylləri mövcuddur. Belə quruluşun məntiqi əsası – sadədən mürək-kəbə prinsipidir. Bu quruluş həndəsənin öyrənilməsi üçün daha mü-nasibdir, çünki burada mürəkkəb obrazlar daha sadə obrazlardan alınır. Məsələn, kvadratların öyrənilməsi kubun öyrənilməsinə, dairənin öyrənilməsi kürənin öyrənilməsinə, müstəvi üzərində olan fiqurların xassələrinin öyrənilməsi fəza fiqurlarının xassələrinin öyrənilməsinə gətirib çıxarır.
Ümumiyyətlə, həndəsənin məntiqi quruluşunda iki əsas prinsip götürülür – analoqonlar və ikilik prinsipi. D.D.Morduxay-Bol-tov-skinin fikrincə, şagirdləri həndəsənin aksiomlarını daha yaxşı ba-şa düşmələri üçün ikilik prinsipindən istifadə edilməsi ən səmərəli vasitədir. Bu fikrin davamı olaraq, o, belə bir nəticəyə gəlmişdi ki, ikilik prinsipini məktəb həndəsəsinin qurulması üçün əsas prinsip olaraq götürmək lazımdır. Dərsliklərdə teoremləri cüt-cüt təqdim etmək, yəni hər bir teoremi özü ilə ikili olan teoremlə yanaşı vermək məqsədəuyğundur. Lakin D.D.Morduxay-Boltovski göstərir ki, ikilik prinsipi ikilik qanunundan fərqli anlayışdır – belə ki, ikincisi pro-yektiv həndəsədə tətbiq olunur və görmə nəticəsində həndəsi fiqurların ölçü və formalarının dəyişməsinə aiddir. Birincisi isə yalnız müəyyən tip teoremlərə tətbiq edilə bilər. Bu teoremlər yalnız metrik həndəsəyə aid olan teoremlərdir.
Analoqonlar prinsipinə görə, planimetriya və stereometriyanın teorem və təklifləri paralel olaraq öyrədilir. Bu prinsipə görə, məsə-lən, planimetriyada paralel düz xətləri öyrənərkən stereo-met-riyada paralel müstəvilər, iki düz xətt arasındakı bucağı öyrənərkən iki müstəvi arasındakı ikiüzlü bucaq, müstəvidə vektorlar və onlar üzərində əməllərin öyrədilməsinə paralel olaraq fəzada vektorlar və onlar üzərində əməllər və. öyrədilir. Üçbucağın analoqonu tetraedr, kvadratın analoqonu kub, paraleloqramın analoqonu paralelepipeddir. Bunu həmin fiqurlara aid bəzi teoremlərdə analoji xüsusiyyətləri aşkar etməklə göstərmək olar. Hazırda istifadə edilən riyaziyyat dərsliklərində bu prinsipdən müəyyən mənada istifadə edilmişdir (tam mənada paralel olaraq deyil, ardıcıl mövzular şəklində). Belə ki, 5-ci sinifdə kvadrat və düzbucaqlının sahəsi mövzusundan dərhal sonra düzbucaqlı paralelepipedin səthinin sahəsi və həcmi, 6-cı sinifdə dairənin sahəsi mövzusundan sonra silindrin səthinin sahəsi və həcmi mövzuları keçilir.
Bu prinsipin tətbiqinə aid aşağıdakı misalları göstərmək olar.

1. 
   Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsində təpədən başlamaqla 2:1 nisbətindəbölünür.
   

1^*. Tetraedrin medianları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöq-təsində təpədən başlamaqla 3:1 nisbətində bölünür.

2. 
   Paraleloqramın diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür.
   

2*. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür.

3. 
   Üçbucağın sahəsi oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin yarı-sınına bərabərdir.
   

3*. Tetraedrin həcmi oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin üçdə birinə bərabərdir.

4. 
   Kvadratın sahəsi tərəfinin kvadratına bərabərdir.
   

4*. Kubun həcmi tərəfinin kubuna bərabərdir.

5. 
   Pifaqor teoremi. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvad-ratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir.
   

5*. Üçüzlü bucağı 90 dərəcəyə bərabər olan tetraedrdə həmin üçüzlü bucaq qarşısında duran üzün sahəsinin kvadratı digər üç üzün sahələrinin kvadratları cəminə bərabərdir.

6. 
   Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir.
   

6*. Tetraedrin təpələrini qarşı üzlərin ağırlıq mərkəzləri ilə birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişir.
İkilik prinsipi ilə həll edilən məsələlər Morduxay-Boltovskiy tərəfindən aşağıdakı kimi təsnif edilmişdir:

1. 
   Bucaq tənböləninin qurulması məsələsi – parçanın orta nöqtəsinin qurulması məsələsi. Bu məsələlər ikili elementlərin tərif-lərinə əsasən həll edilir.
   
2. 
   Verilmiş düz xəttə paralel düz xəttin qurulması kimi məsələlər. Və ya - düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtə veril-mişdir. Bu nöqtədən keçən və verilmiş düz xəttə paralel olan düz xətti qurmalı. Məsələnin həlli üçün aşağıdakı teoremi nəzərə almalıyıq: Əgər C nöqtəsi B nöqtəsinin polyarında yerləşirsə, onda B nöqtəsi də C nöqtəsinin polyarında yerləşər.
   
3. 
   Üçüncü tip məsələlər toxunanların qurulmasına aid olan məsələlərdir. Məsələni həll etmək üçün Ştaudt dördbucaqlısının polyarının qurulması üsulundan istifadə edilir.
   

Qeyd. Ştaudt dördbucaqlısı tam dördbucaqlıdır. Tam dörd-bucaqlı dedikdə müstəvi üzərində heç bir üçü bir düz xətt üzərində olmayan və 4 nöqtəni birləşdirən 6 düz xəttin əmələ gətirdiyi fiqur nəzərdə tutulur. Tam dördbucaqlıya ikili olan fiqur isə dördtərəflidir. Dördtərəfli – heç bir üçü bir nöqtədə kəsişməyən dörd parçanın birləşməsindən və bu parşaların 6 kəsişmə nöqtələrindən ibarət fi-qurdur. (Şək.3)

Şək.3

4. 
   Məsələ. P və Q nöqtələrinə nəzərən M nöqtəsinə harmonik nöqtənin qurulması. (Şək.4) Bunun üçün bir cüt qarşı tərəfi P nöqtəsindən, digər iki qarşı tərəfi isə Q nöqtəsindən, beşinci tərəfi M nöqtəsindən keçən tam dördbucaqlı qurulur. Onda bu tam dördbu-caqlının altıncı tərəfi axtarılan N nöqtəsindən keçəcək. N nöqtəsi M nöqtəsi ilə harmonik qoşma nöqtədir.
   

B

D

C

K

N

Q

M

P

Şək.4

5. 
   Üçbucaqların elementlərinə görə qurma məsələləri. Bu tip məsələlərə üçbucaqların medianlarının, tənbölənlərinin, hündürl­üklərinin kəsişmə nöqtələri­nin qurulması ilə bağlı bütün məsələlər aid edilir.
   

N.Beskin həndəsənin tədrisi metodikasına dair yazdığı «Методика геометрии» kitabında göstərir ki, həndəsə bütün tədris fənləri arasında ən çox məntiqi inkişaf etdirən fəndir. Bunu N.Beskin belə izah edirdi ki, hələ Evklid “Əsaslar”ında qarşısına belə bir məqsəd qoyur – həndəsəni sırf məntiqi əsaslarla, başqa sözlə, intui-siyasız, ciddi isbatlarla sistematik şəkildə qurmaq. Qeyd olunan kitabda N.Beskin həndəsənin tədrisində məntiq elementlərinə xüsusi diqqət yetirərək, anlayış, anlayışın tərifi, həcmi və məzmunu, növ və cins əlamətləri, təsnifat, təsnifatda əsas və vacib olan əlamətlər, silloqizmlər və s. kimi məntiqi məsələləri şərh etmişdir.
Məktəb həndəsə kursuna daxil edilmiş tərif, aksiom və teo-remlər sisteminin bəziləri dəqiq ifadə olunmadığından şagirdlər tərə-findən düzgün anlaşılmır. Bununla bağlı aşağıdakı təklifləri qeyd edək.

1. 
   Düz bucağa tərif verildikdə və ya perpendikulyar düz xətlərə tərif verildikdə. Evklidin “Əsaslar”ında 1-ci kitabın 10-cu tərifində deyilir:
   

• 
  Düz xətlər kəsişdikdə əmələ gələn qonşu bucaqlar bərabər olarsa, onda belə bucaqlara düz bucaqlar deyilir. Bundan sonra kor və iti bucaqlara tərif verilir. Yəni Evklidin tərifində düz bucağa qonşu bucaqlar vasitəsilə tərif verilmişdir. Lakin dərsliklərdə düz bucağa perpendikulyar düz xətlər vasitəsilə, açıq bucağın yarısı, 90 dərəcəli bucaq əmələ gətirən düz xətlər arasındakı bucaq kimi verilən təriflərlə qarşılaşırıq. Halbuki metodik cəhətdən bu təriflərin həmin formada ifadə olunması münasib deyil. Çünki bu təriflərə görə “Düz bucaq altında kəsişən düz xətlərə perpendikulyar düz xətlər deyilir” və “Perpendikulyar düz xətlərin əmələ gətirdikləri bucağa düz bucaq deyilir” kimi anlaşılmazlıqla qarşılaşırıq.
  

2. Məktəb həndəsə kursunda ilk isbat edilən teoremlərdən biri üçbucaqların bərabərlik əlamətləridir. Bu teoremlərin isbatı ixtiyari iki üçbucağın bərabərliyini isbat etmək üçün onların şərtdə verilən uyğun elementlərini üst-üstə qoymaqdan ibarətdir. İsbatın, həm də dərslikdəki ilk isbatın bu formada verilməsi şagirdlər üçün hec də maraqlı və məntiqli deyildir. Düzdür, Evklidin “Əsaslar”ında da üçbucaqların bərabərlik əlamətləri eyni üsulla isbat edilir. Lakin isbatın dərsliklərdə bir qədər təhrif olunmuş formada şərhi şagirdlərdə isbat əməliyyatına qarşı ciddi münasibət yaratmır. Bunu 1-ci əlamət misalında izah edək.
Tutaq ki, ABC və DEF üçbucaqları verilmişdir. AB və AC tərəfləri uyğun olaraq DE və DF tərəflərinə bərabərdir. AB=DE, AC=DF. BAC bucağı EDF bucağına bərabərdir. Göstərək ki, onda bu üçbucaqlar bərabərdir. ABC=DEF

ABC=DEF