Natamam kvadrat tənlik çevrilməmiş tam kvadrat tənliyində b,c kəmiyyətlərindən biri və ya hər ikisi eyni zamanda sıfıra bərabər olduqda alınan tənlikdir

Tərif. n vahiddən fərqli natural ədəd olduqda , n-ci qüvvəti a-ya bərabər olan ədədə a ədədinin n-ci dərəcədən kökü deyilir .

a ədədinin n-ci dərəcədən kökü ⁿ kimi işarə olunur .n-ci dərəcədən kökün tərifinə görə (ⁿ)ⁿ =a eyniliyi doğrudur .

Tərif. Mənfi olmayan ədədin n-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə , bu ədədin n-ci dərəcədən hesabı kökü deyilir .

Hesabi kök aşağıdakı xassələrə malikdir :

1. 
   Hasiln kökü , vuruqların kökləri hasilinə bərabərdir , a
   

olarsa onda

ⁿ =^{n n}

2. Qismətin kökü , bölünənlə bölənin kökləri qismətinə bərabərdir , yəni a olarsa , onda  

3. Kökün natural üstlü qüvvəti , kökaltı ifadənin həmin üstlü qüvvətinin kökünə bərabərdir, yəni

a n, mN olarsa (ⁿ)^m =ⁿ

4. Kökün dərəcəsinin hər hansı natural ədədə , vurub kök altı ifadəni həmin dərəcədən qüvvətə yüksəltsək kökün qiyməti dəyişmir , yəni

aolarsa ⁿ =^nm   

                                                7. Həqiqi ədədlər

Tərif. Dövrü olmayan sonsuz onluq kəsr şəklində göstərilən ədədlərə irrosional ədədlər deyilir .

Rasional ədədlər çoxluğu ilə irrasional ədədlər çoxluğunun birləşməsindən əmələ gələn çoxluğa həqqiqi ədədlər çoxluğu deyib, onu R kimi işarə etmək qəbul olunmuşdur.

Tərif. a ədədinin mütləq qiyməti, a ədədi sıfır və müsbət olduqda özünə, mənfi olduqda isə (-a) ədədinə bərabər olan ədəddir.  

                                                     6. Faiz

Tərif.Ədədin yüzdə bir hissəsinə faiz deyilir. Verilən ədədin müəyyən fayizinin tarılması.

1. Ədədin bir neçə faizini tarmaq üçün bu ədədi 100-ə bölüb faizinin miqdarına vurmaq lazımdır.

2. Faizinə görə ədədin tapılması. Verilən bir neçə faizinə görə ədədi tarmaq üçün bu faizə müvafiq olan ədədi faizin miqdarına bölüb 100?ə vurmaq lazımdır .

                   Tərif.'>5. Onluq kəsr anlayışı . Sonlu onluq kəsrlər

Tərif.Məxrəci 10ⁿ (nÎN) şəklində olan kəsrlərə onluq kəsrlər deyilir.

Tutaq ki, verilmiş adi kəsrin surətindəki ədədin rəqəmləri sayı n-ə məxrəcindəki ədədin rəqəmlərinin sayı m-ə bərabərdir .

1. n > m olarsa, onluq kəsrin surətindəki ədədi qeyd edərək, bu ədədin ən sağındakı rəqəmlərindən başlayıb, məxrəcindəki sıfırların sayı qədər ayırmaq və vergülü qoymaq lazımdır .

2. n≤m, surət qeyd olunarkən bu ədədin qarşısına m-n sayda sıfır yazıb , vergülü əvvəki qaydada ayırmaq lazımdır .  

 

                      4. Nisbət haqqında anlayış . Tənasüb

İki?natural?ədədin? birincisinin?ikincisindən?neçə?dəfə?böyük? olduğunu?və?yaxud?birinin o?birisinin?hansı?hissəsini? təşkil?etdiyinin?göstərən?kəsrə?iki?natural ədədin nisbəti?deyilir .

a natural?ədədinin?b natural?ədədinə?olan?nisbəti?a/b kimi?göstərilir.

Tərif. İki nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir.

a/b =c/d bərəbərliyi tənasüb  a, b, c, d ədədləri isə tənasübün həddləri  adlanır . a və d  ədədləri  tənasübün  kənar, b və c  ədədləri isə tənasübün orta hədləridir .

Tənasübün?əsas? xassəsi.?Tənasübün?kənar?həddlərinin? hasili, orta hədlərinin?hasilinə bərabərdir, a×d= b×c

2 xassəTənasübün? kənar?həddlərinin yerini dəyişsək, tənasüb dəyişməz .

Başqa sözlə desək:

?a/b =c/d?, d/b =c/a?,?d/c =b/a

3 xassə.Tənasübün? istənillən?kənar?həddi?ilə?istənilən?orta? həddini?eyni?zamanda?eyni?ədəd?dəfə?artırsaq və ya?azaldsaq , tənasüb dəyişməz.

                             3. Adi kəsrlər üzərində əməllər

1. Kəsrlərin toplanması. Kəsirləri toplamaq üçün, onların?ən kiçik ortaq?məxrəcə gətirmək , sonra onların?surətlərini?toplayıb?altından?ümumi məxrəci?yazmaq?lazımdır.

2. Kəsrlərin çıxılmsı. Kəsirdən?kəsri? çıxmaq üçün?əvvəlcə?ən kiçik? ortaq?məxrəcə gətirmək, sonra?azalanın?surətindən? çıxılanın?surətini?çıxıb, alınan? fərqin?altından?ortaq?məxrəci yazmaq?lazımdır .

3. Kəsrlərin?vurulması. İki kəsrin hasili?surəti? bu kəsirlərin?surətləri?hasilinə,?məxrəci isə?məxrəclərinin?hasilinə bərabər?olan? kəsrə bərəbərdir .

4. Kəsrlərin bölünməsi. Kəsri?kəsrə bölmək? üçün?böləni?bölənin tərsinə? vurmaq?lazımdır.

             2. Düzgün və düzgün olmayan kəsrlər. Kəsrlərin ixtisarı

Surəti məxrəcindən kiçik olan kəsirlər düzgün kəsrlər, surəti məxrəcinə bərabər və yaxud da ondan böyük olan kəsirlər isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.

Məsələn, 4/5, 5/7, 2/39 kəsrləri düzgün, 10/10, 11/10, 34/20 kəsirləri isə düzgün olmayan kəsirlərdir.

Düzgün kəsrlər qiymətcə vahiddən kiçik, düzgün olmayan kəsirlər isə vahidə bərabər və ya ondan böyükdür.

Məsələn, (düzgün kəsr) (düzgün olmayan kəsr) düzgün olmayan kəsrlərin surətini məxrəcinə bölməklə tam hissəni hesablayıb, həmin kəsri tam ədədlə düzgün kəsrin birləşməsi kimi yazmaq olar. Bu şəkildə olan kəsrlər qarışıq ədədlər adlanır.  

 
 

Məsələn, və s. qarışıq ədədlərdir.

Misal həlli zamanı düzgün olmayan kəsrləri qarışıq ədədə və yaxud tərsinə çevirmək lazım gəlir.

Düzgün olmayan kəsri qarışıq ədədə çevirmək üçün kəsrin surətini məxrəcinə bölüb, qalığı tapmaq lazımdır: qismət tam vahidlərin sayını, qalıq isə vahid hissələrinin sayını göstərəcəkdir.

Məsələn, 545/32 kəsrini qarışıq ədədə evirək.

545:32=12 (qalıq 1). Deməli

Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrə çevirmək üçün məxrəci tam ədədə vurub, alınan hasilin üstünə surəti gələrək, bunu, axtardığımız kəsrin surətinə yazmaq, məxrəci isə əvvəlki kimi saxlamaq lazımdır. Məsələn,

Kəsrin surət və məxrəcinin onların ortaq böləninə (vahidən fərqli oltaq böləninə) bölünməsinə kəsrin ixtisarı deyilir.

Kəsrin ixtisar oluna biləcəyi ən böyük ədəd onun surət və məxrəcinin ən böyük ortaq bölənidir. Məsələn, ƏBOB(30,45)=15

Adi kəsrin, surət və məxrəcin ən böyük ortaq böləninə ixtisar edilməsinə kəsrin tam ixtisarı deyib, bundan sonra kəsrin ixtisarı dedikdə onun tam ixtisar mənasında işlədildiyini qəbul edəcəyik.

Məsələn,  

                    1. Adi kəsr anlayışı. Adi kəsrin müqayisəsi

Tərif. Vahidin bir və ya bir neçə bərabər hissələrindən ibarət olan ədədlərə adi kəsr deyilir.

Vahid altı hissəyə bölünüb, bu hissələrdə ikisi götürülərsə götürülmüş hissələri ifadə edən ədəd ?altıda iki? adlandırılıb, 2/6 kimi göstərilir. Xəttin üstündə olan ədədə kəsrin surəti, xəttin altında olan ədədə isə kəsrin məxrəci deyilir.

Məxrəc vahidin neçə bərabər hissəyə bölündüyünü, surət isə verilmiş kəsirdə olan hissələrin sayını göstərir.

Adi kəsrə verdiyimiz tərifdən aydın olur ki, kəsr xəttinə həmdə bölmə kimi baxmaq olur. Məsələn,  

Surətləri bərabər olan iki kəsrdən məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür.

Məsələn,  

Məxrəcləri bərabər olan iki kəsrdən surəti böyük olan kəsr böyükdür.

Məsələn,  

Tərif. İki kəsrdən birincisinin məxrəci ilə ikincinin surəti hasili, ikincinin məxrəci ilə birincinin surəti hasilinə bərabər olarsa, belə kəsrlər bərabər kəsrlər adlanır. 
 
 

Məsələn, çünki 2?12=4?6

və yaxud çünki 2?2=1?4  

Məxrəcləri və surətləri müxtəlif olan kəsirləri müqayisə etmək üçün adi kəsrlərin aşağıdakı əsas xassəsini nəzərdən keçirək.

Kəsrin surət və məxrəcini eyni bir natural ədədə vursaq və yaxud bölsək, ona bərabər kəsr alınar.

Məsələn,  

Beləliklə, surət və məxrəcləri müxtəlif olan kəsrləri müqayisə etmək üçün onları bərabər məxrəcli və yaxud bərabər surətli kəsrlər şəklinə gətirmək lazımdır.

Məsələn, 3/5, 4/7 kəsrlərini surətləri bərabər olan kəsrlər şəklinə gətirməklə müqayisə edək:

1. Natural ədədlər. Natural ədədlər üzərində hesab əməlləri 

Çoxluq anlayışı kimi natural ədəd də riyaziyyatın əsas anlayşlarından biridir. Natural ədədlər ? əşyaları sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir . Natural ədədləri bir-biri ilə müqayisə etməklə onlardan hansının böyük, hansının kiçik olduğunu asanlıqla müəyyən etmək olar. Bundan istifadə edərək natural ədədləri artan sıra ilə düzsək 1,2,3,4,..,n,? natural sırasını almış olarıq. Natural sırada hər bir natural ədədin öz yeri vardır.

Natural ədədlər üzərində toplama, çıxma, vurma, bölmə, qüvvətə yüksəltmə və kökalma əməllərini yerinə yetirmək olar.

Tərif. Sonlu sayda natural ədədlərdəki vahidlərin birgə sayını tapmaq əməlinə toplama deyilir.

Məsələn, 2+4+9+10=25.

Burada natural ədədlər toplananlar, toplama nəticəsində alınan ədəd isə cəm adlanır.

Qeyd etdiyimiz misalda 2, 4, 9, 10 ədədləri toplananlar, 25 isə cəmdir.

Toplama əməlinin aşağıdakı iki xassəsi vardır: 

1 xassə. Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir:

m+n=n+m (toplamanın yerdəyişmə qanunu).

2 xassə. Yan-yana duran bir neçə toplananı onların cəmi ilə əvəz etdikdə cəm dəyişmir:

m+n+p=(m+n)+p=m+(n+p) (toplamanın qruplaşdırma qanunu) 

Tərif. Verilmiş cəm və bir toplanana görə o biri toplananı tapmaq əməlinə çıxma deyilir. 

Məsələn, 37-12=25.  

O ədəddən ki, çıxırlar, o azalan, o ədədi ki, çıxırlar, o çıxılan, bu əməlin nəticəsində alınmış ədəd isə fərq adlanır. Göstərilmiş misalda 37 azalan, 12 çıxılan, 25 isə fərqdir.  

Çıxma əməlinin aşağıdakı xassələri vardır:  

1 xassə. Bir ədəddən bir neçə ədədin cəmini çıxmaq üçün əvvəl birinci toplananı çıxmaq, sonra isə alınmış fərqdən ikinci toplananı çıxmaq və s. lazımdır:

m-(n+p)=(m-n)-p.

2 xassə. Bir neçə ədədin cəmindən bir ədədi çıxmaq üçün bu ədədi toplananların birindən çıxmaq lazımdır:

(m+n)-p=(m-p)+n=(n-p)+m 

Yadda saxlamaq lazımdır ki, iki natural ədədin fərqi həmişə natural ədəd olmur.  

Məsələn, 2-5, 17-30 fərqləri natural ədəd deyildir.  

Tərif. Bərabər toplananların cəmini tapmaq əməlinə vurma deyilir.  

Məsələn, 8+8+8+8+8=5*8=40.  

Vurulan ədədlərə vuruqlar, əməlin nəticəsi isə hasil adlanır. Göstərdiyimiz misalda 8 vurulan, 5 vuran, 40 isə hasildir.  

Vurma əməlinin aşağıdakı xassələri vardır. 

1 xassə. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir:

m ? n = n ? m

(vurmanın yerdəyişmə qanunu)

2 xassə. Yan-yana duran bir neçə vuruğu onların həsili ilə əvəz etdikdə hasil dəyişmir:

m ? n ? p = (m ? n)p = m?(n ? p) (vurmanın qruplaşdırma qanunu)  

3 xassə. Cəmi bir ədədə vurmaq üçün toplananların hər birini həmin ədədə vurub, alınan hasilləri toplamaq, fərqi bir ədədə vurmaq üçün isə azalan və çıxılanı ayrı-ayrılıqda bu ədədə vurub, birinci hasildən ikinci hasili çıxmaq lazımdır: 

(m+n) p=m ? p + n ? p

(m-n) p=m ? p - n ? p (paylama qanunu). 

Tərif. İki vuruğun hasili və vuruqlardan biri verildikdə ikinci vuruğu tapmaq əməlinə bölmə deyilir.

Məsələn, 342:9=38. 

O ədədi ki bölürlər, o bölünən, o ədədə ki bölürlər, o bölən, əməlin nəticəsi isə qismət adlanır.

Nümunə üçün göstərdiyimiz misalda 342 bölünən, 9 bölən 38 isə qismətdir. Bölmə əməlinin aşağıdakı xassələrini qeyd edək:

I xassə. Cəmi hər hansı bir ədədə bölmək üçün, hər bir toplananı bu ədədə bölüb alınan qismətləri toplamaq lazımdır:

(m+n):p=(m:p)+(n:p).

II xassə. Fərqi hər hansı bir ədədə bölmək üçün azalan və çıxılanı həmin ədədə həmin ədədə ayrı-ayrılıqda bölüb, birinci qismətdən ikinci qisməti çıxmaq lazımdır:

(m-n):p=(m:p)-(n:p). 

İki natural ədədin qisməti həmişə natural ədəd olmaya bilər. Məsələn, 7:4, 8:3 və s. qismətləri natural ədəd deyildir. Bu halda deyirlər ki, 7 ədədi 4-ə, 8 ədədi isə 3-ə tam (qalıqsız) bölünmür. Lakin 72 ədədi 12-yə tam bölünür. Bu fəsildə ?bir natural ədəd o birisinə bölünür? dedikdə, tam bölünmədən söhbət getdiyini nəzərdə tutacağıq.

Toplama və çıxma birinci pillə əməlləri, vurma və bölmə isə ikinci pillə əməlləri adlanır. Müxtəlif əməllər və mötərizə iştirak edən misallar aşağıdakı ardıcıllıqla həll edilir: əvvəlcə hər bir mötərizə daxilindəki eyni pillə əməlləri yazıldıqları ardıcıllıqla müxtəlif pillə əməllərdən isə əvvəlcə ikinci, sonra birinci pillə əməllər yerinə yetirilir; axırda isə mötərizə xaricindəki əməllər növbə ilə yerinə yetirilməlidir.

                                      2. Cəmin törəməsi

Tutaq ki, aralığında təyin olunmuş y=u(x) və y=v(x) funksiyası verilmişdir.

u(x) və v(x) funksiyaları aralığında diferensiallanandırsa, onların cəmi də bu aralıqda diferensiallanandır və  

(cəmin torəməsi törəmələri cəminə bərabərdir).

      3. Hasilin törəməsi

u(x) və v(x) funksiyaları aralığında diferensiallanandırlarsa, onların hasili də həmin aralıqda diferensiallanandır  

Nəticə. Sabit vuruğu törəmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar:  

                        4. Qismətin törəməsi

u(x) və v(x) funksiyaları aralığında diferensiallanan, və v(x) funksiyası aralığının hər bir nöqtəsində sıfırdan fərqli funksiyadırsa, bu funksiyaların nisbəti də aralığında diferensiallanandır və  

y=g(x) funksiyası təyin olunduğu x₀ nöqtəsində və u=f(y) funksiyası isə y₀=g(x₀) nöqtəsində diferensiallanandırsa, mürəkkəb u=f(g(x)) funksiyası da x₀ nöqtəsində diferensiallanandır və  

y=f(x) funksiyasının tərs funksiyası təyin olunduğu aralığının y₀ nöqtəsində diferensiallanan və bu nöqtədə sıfırdan fərqli törəməyə malikdirsə, y=f(x) funksiyası da uyğun nöqtəsində diferensiallanandır və bərabərliyi doğrudur.   
 

     5. Üstlü funksiyanın törəməsi

1. y=e^x funksiyası istənilən nöqtəsinndə diferensiallanandır və onun törəməsi (e^x)'=e^x düsturu ilə hesablanır.

2. y=a^x üstlü fueksiyası istənilən nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi  

düsturu ilə hesablanır.   

     6. Loqarifmik funksiyanın törəməsi

funksiyası istənilən çoxluğunda diferensiallanandır və onun törəməsi düsturu ilə hesablanır.   

     7. Qüvvət funksiyasının törəməsi

qüvvət funksiyası çoxluğunun istənilən nöqtəsində diferensiallanandır və qüvvət funksiyasının törəməsi üçün

düsturu doğrudur.

     8. Törəmə vasitəsilə funksiyanın tədqiqi

Tutaq ki, y=f(x) funksiyası aralığında təyin olunmuş funksiyadır.

f(x) funksiyası parçasında kəsilməyən və intervalında diferensiallanandırsa, bu intervalın daxilində elə x₀ nöqtəsi var ki, doğrudur.

Aralığının hər bir nöqtəsində y=f(x) funksiyasının törəməsi müsbətdirsə, verilmiş funksiya aralığında artandır.

aralığının hər bir nöqtəsində y=f(x) funksiyasının törəməsi mənfidirsə, bu funksiya aralığında azalandır.

     9.Törəmə vasitəsilə funksiya ekstremumlarının təyini

parçasında y=f(x) funksiyası verilmişdir .

Tərif. x₀ nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki, bu ətrafdan götürülmüş bütün x-lər üçün ödənilsin, onda, x₀ nöqtəsinə funksiyanın minumum nöqtəsi deyilir (şəkil 111).

Tərif. x₀ nöqtəsinin elə ətrafə varsa ki, bu ətrafdan götürülmüş dütün x-lər üçün ödənilsin, onda x₀ nöqtəsinə f(x) funksiyasının maksimum nöqtəsi deyilir. (şəkil 112).  

Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri ekstremum nöqtələri, funksiyanın bu nöqtələrdəki xüsusi qiymətləri isə funksiyanın ekstremumları adlanır.  

Qısa olmaq üçün funksiyanın x₀ nöqtəsindəki ekstremumlarının f_max(x₀) və f_min(x₀) kimi göstərilişindən istifadə edilir. 113-cü şəkildə parçasında kəsilməz funksiyanın qrafiki təsvir olunmuşdur. Şəkildən görünür ki, x₁, x₃, x₅, nöqtələri maksimum, x₂, x₄ nöqtələri isə minimum nöqtələridir, kəsilməz funksiyanın maksimum və minimumları bir-biri ilə növbələşirlər. Funksiyanın təyin olunduğu parçanın uc nöqtələri funksiyanın ekstremum nöqtələri ola bilməzlər. Çünki parçanın uc nöqtələrindən hər birinin elə ətrafənı tapmaq mümkün olmur ki, bu nöqtə öz ətrafı ilə birlikdə funksiyanın təyin oblastına daxil olsun. 

     10. Ekstremumun varlığı üçün zəruri şərt

x₀ nöqtəsi funksiyanın ekstremum nöqtəsidirsə və bu nöqtədə funksiya diferensiallanandırsa, x₀ nöqtəsində funksiyanın törəməsi sıfıra, bərabərdir:  

                  1. İbtidai funksiya . İbtidai funksiyanın əsas xassələri

İnteqrallama, törəməsi məlum olan funksiyanın axtarılması əməlidir. Bu mənada, inteqrallamanın doğruluğu diferensiallama ilə yoxlanılır.

Tərif. Verilmiş C aralığının bütün nöqtəlrində bərabərliyi ödənilirsə, F(x) fueksiyasına C aralığında f(x) funksiyasının ibtidai funkiyası deyilir.

Məsələn, F(x)= x⁴/4 funksiyası aralığında f(x)=x³ funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Çətinlik çəkmədən müəyyən etmək olar ki, həmçinin F(x)=(x⁴/4)+18 funksiyasının da həmin aralıqda törəməsi f(x)= x³ funksiyasına bərabərdir. Yəni (x⁴/4)+18 funksiyası da f(x)= x³ funksiyasının bu aralıqda ibtidai funksiyasıdır. Əlbəttə burada 18 yerinə sadəcə olaraq istənilən c sabit ədədini (sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir) yaza bilərik və yenə də F(x)=(x⁴/4)+C funksiyası f(x)= x³ funksiyasının ibtidai funksiyası olar. Bu onu göstərir ki, ibtidai funksiyanın tapılması heçdə birqiymətli olaraq həll oluna bilmir.

İnteqrallamanın əsas məsələlərindən biri, verilmiş funksiyanın bütün ibtidai funksiyalarını tapmaqdan ibarətdir. Bu məsələnin həlli funksiyanın sabitlik əlaməti ilə sıx surətdə bağlı olduğundan, əvvəlcə aşağıdakı teoremi isbat edək.

Teorem (funksiyanın sabitlik əlaməti). Verilmiş aralıqda F(x) funksiyasının sabit olması üçün zəruri və kafi şərt onun törəməsinin bu aralıqda sıfır olmasıdır.

∆ Zərurilik. F(x) funksiyası verilmiş aralıqda sabitdirsə sabitin törəməsi teoreminə görə 

olması aydındır.

Kafilik. Verilmiş aralıqda olduğunu qəbul edərək göstərək ki, funksiya bu aralıqda sabitdir. Verilmiş aralığın ixtiyari x₀ nöqtəsini qeyd edək. Laqranc teoreminə görə bu aralıqdan götürülmüş istənilən x ilə x₀ arasında yerləşən elə c nöqtəsi vardır ki,  

doğrudur.

x və x₀ nöqtələri arasında yerləşmiş c nöqtəsi də verilmiş aralığın nöqtəsidir və şərtə görə istənilən bu cür nöqtə üçün olduğundan  

F(x) funksiyası aralığın istənilən x nöqtəsində F(x₀) bərabər qiymət alır. Deməli o sabit funksiyadır.

                       2. İbtidai funksiyanın tapılması qaydaları

Funksiyanın törəməsinin tapılmasında olduğu kimi, ibdidai funksiya da müəyyən funksiyaların köməyi ilə tapılır.

Teorem (qüvvətin ibtidai funksiyası). P mənfi birdən fərqli istənilən həqiqi ədəd olduqda f(x)= x^p funksiyasının ibtidai funksiyası  səklindədir.

∆ Həqiqətən də C istənilən sabit olduqda  

Teorem (Cəmin ibtidai funksiyası). F(x) funksiyası f(x)-in, G(x) funksiyası isə g(x)-in ibtidai funksiyasıdırsa, onda F(x)+G(x) funksiyası da f(x)+g(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

∆ Teoremin şərtinə görə və olduğunu nəzərə alıb, cəmin törəməsi haqqında teoremi tətbiq etsək  

Teorem (Sabit vuruğun saxlanması). F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyasıdırsa, k sabit olduqda kF(x) funksiyası da kf(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.  

Teorem (Yeni dəyişən daxil etmə). F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyasıdırsa, n, m istənilən sabitlər olduqda (1/n)F(nx+m) funksiyası da f(nx+m) funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Həqiqətən də F'(x)=f(x) olduğundan mürəkkəb funksiyanın diferensiallanması qaydasına görə  

Bütün bunlardan sonra cətinlik cəkmədən aşağıdakı təkliflərin də doğruluğunu isbat etmək olar. sin x ?in ibtidai funksiyasını ?cos x +C, cos x-in ibtidai funksiyası sinx +C, -in ibtidai funksiyası tgx+C, -in ibtidai funksiyası isə ?ctg x+C səklindədir.

            3. İbtidai funksiya . İbtidai funksiyanın əsas xassələri

İnteqrallama, törəməsi məlum olan funksiyanın axtarılması əməlidir. Bu mənada, inteqrallamanın doğruluğu diferensiallama ilə yoxlanılır.

Tərif. Verilmiş C aralığının bütün nöqtəlrində bərabərliyi ödənilirsə, F(x) fueksiyasına C aralığında f(x) funksiyasının ibtidai funkiyası deyilir.

Məsələn, F(x)= x⁴/4 funksiyası aralığında f(x)=x³ funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

Çətinlik çəkmədən müəyyən etmək olar ki, həmçinin F(x)=(x⁴/4)+18 funksiyasının da həmin aralıqda törəməsi f(x)= x³ funksiyasına bərabərdir. Yəni (x⁴/4)+18 funksiyası da f(x)= x³ funksiyasının bu aralıqda ibtidai funksiyasıdır. Əlbəttə burada 18 yerinə sadəcə olaraq istənilən c sabit ədədini (sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir) yaza bilərik və yenə də F(x)=(x⁴/4)+C funksiyası f(x)= x³ funksiyasının ibtidai funksiyası olar. Bu onu göstərir ki, ibtidai funksiyanın tapılması heçdə birqiymətli olaraq həll oluna bilmir.

İnteqrallamanın əsas məsələlərindən biri, verilmiş funksiyanın bütün ibtidai funksiyalarını tapmaqdan ibarətdir. Bu məsələnin həlli funksiyanın sabitlik əlaməti ilə sıx surətdə bağlı olduğundan, əvvəlcə aşağıdakı teoremi isbat edək.

Teorem (funksiyanın sabitlik əlaməti). Verilmiş aralıqda F(x) funksiyasının sabit olması üçün zəruri və kafi şərt onun törəməsinin bu aralıqda sıfır olmasıdır.

∆ Zərurilik. F(x) funksiyası verilmiş aralıqda sabitdirsə sabitin törəməsi teoreminə görə 

olması aydındır.

Kafilik. Verilmiş aralıqda olduğunu qəbul edərək göstərək ki, funksiya bu aralıqda sabitdir. Verilmiş aralığın ixtiyari x₀ nöqtəsini qeyd edək. Laqranc teoreminə görə bu aralıqdan götürülmüş istənilən x ilə x₀ arasında yerləşən elə c nöqtəsi vardır ki,  

doğrudur.

x və x₀ nöqtələri arasında yerləşmiş c nöqtəsi də verilmiş aralığın nöqtəsidir və şərtə görə istənilən bu cür nöqtə üçün olduğundan  

F(x) funksiyası aralığın istənilən x nöqtəsində F(x₀) bərabər qiymət alır. Deməli o sabit funksiyadır.

                      1. Xətti funksiyanın xassələri və qrafiki

Tərif. k≠0, b verilmiş həqiqi ədədlər olduqda y=kx+b düsturu ilə verilə bilən funksiyayaxətti funksiya deyilir. kx+b ifadəsinin x-in istənilən qiymətində mənası olduğundan, xətti funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğu və ya onun istənilən alt çoxluğu ola bilər. Aşağıdakı xüsusi halları nəzərdən keçirək.

1. k=0 olarsa, xətti funksiya y=b şəklində funksiyaya çevrilir. Bu funksiyanın qrafiki ordinat oxundan b uzunluqda parça ayırmaqla absis oxuna paralel keçən düz xəttdir; b<0 olduqda düz xətt kordinat müstəvisinin 3, 4 rüblərində, b>0 olduqda isə 1, 2 rüblərində yerləşmiş olur.  

2.  k≠0, b=0 olarsa, funksiya y=kx şəklində olan funksiyaya çevrilir. Bu düsturla verilmiş funksiya düz mütənasiblik funksiyası adlanır. Sıfırdan fərqli olan k ədədinin mütənasilik əmsalı, bəzəndə bucaq əmsalı adlandırırlar və y dəyişəni isə x dəyişəni ilə düz mütənasibdir.

Düz mütənasibliyin əsas xassəsi: x-in qiymətləri bir neçə dəfə artdıqda, y-in ona uyğun qiymətləri də o qədər dəfə artır; analoci olaraq x-in qiymətləri bir neçə dəfə azaldıqda y-in ona uyğun qiymətləri də o qədər dəfə azalır.

Düz mütənasibliyin qrafiki koordinat başlanğıcından keçən düz xəttdir. Bucaq əmsalı k>0?isə, düz xətt koordinat müstəvisinin 1, 3, k<0?isə 2, 4 rüblərində yerləşmiş olur (şəkil 1). Düz xətt iki nöqtə ilə tamamilə verilmiş hesab olunduğundan, düz mütənaibliyin qrafikinin onun istənilən iki nöqtəsinə görə (onlardan birini koordinağ başlanğıcını götürmək əlverişlidir) qurmaq olar. Bucaq əmsalı müsbətdirsə, y=kx düz xəttinin absis oxunun müsət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaq iti, əks halda kor bucaqdır. |k| böyüdükcə qrafik ordinat oxuna getdikcə yaxınlaşır, əks halda isə ordinat oxundan uzaqlaşır.?(şəkil 2).