Oliy va o'rta maxsus ta'lim vazirligi

1.2 8 - sinf algebrasida tenglamalar mavzusi
Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va boshqa ijtimoiy fanlarda qoʻllaniladi.^[1]

Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).
Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular oʻzgaruvchilar yoki nomaʼlumlar deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi.
Tenglamalar ulardagi oʻzgaruvchilar soniga qarab nomlanadi. Masalan, bir oʻzgaruvchili tenglama, ikki oʻzgaruvchili tenglama, va hokazo.
Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) Shotlandiyalik matematik Robert Recorde (1510-1558) oʻylab topgan.^[2] U ikki bir xil uzunlikdagi parallel toʻgʻri chiziqlardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan.
Sistemadagi tenglamalardan noma'lumlarni ketma-ket yo`qotish metodi qadimiy metodlardandir. Bu metodni ikki yo`l bilan amalga oshirish mumkin: a) tenglamalarning kerakli kombinatsiyalarini tuzish; b) almashtirishning har bir qadamida sistema matritsasining biror elementini yoki bir ustundagi diagonal elementi ostidagi barcha elementlarini nolga aylantirish maqsadida bu matritsani maxsus ravishda, tanlab olingan matritsaga ko`paytirishdan iboratdir. Har ikkala holda ham diqqat-e'tibor shunga yo`naltiriladiki, almashtirishlar natijasida berilgan sistema unga teng kuchli bo`lgan sistemaga o`tishi va so`ngi sistema sodda ko`rinishga ega bo`lishi kerak. Matritsalarni ajratishga asoslangan metodlar g`oyaviy jihatdan noma'lumlarni ketma-ket yo`qotish metodlariga juda yaqin turadi. Bu yerda sistemaning matritsasi asosan uchburchak, diagonal yoki akslantirish matritsalarining ko`paytmalariga ajratiladi. 7 Uchinchi sinfga kiradigan metodlar hozirgi vaqtda keng tarqalgan metodlardir. Bu metodlarda izlanayotgan yechim maxsus ravishda qurilgan yordamchi vektorlar sistemasidagi oxirgi vektordan iborat. Bu gruppadagi metodlarning eng birinchisi ortogonallashtirish metodidir. Yuqorida aytilgan barcha metodlarning umumiy mohiyatini quyidagi sxemada bayon qilish mumkin.
Nazariy va tadbiqiy matematikaning ko‘pgina masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Masalan, funksiyaning n-ta nuqtada berilgan qiymatlari yordamida n-tartibli ko‘phad bilan interpolyatsiyalash yoki funksiyani o‘rta kvadratlar usuli yordamida yaqinlashtirish masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.

Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilishning manbai uzluksiz funksional tenglamalarni chekli ayirmali tenglamalar bilan yaqinlashtirishdir.

Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechish asosan ikki usulga, ya’ni aniq va iteratsion usullarga bo‘linadi.

Aniq usul deganda chekli miqdordagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish tushuniladi.

Iteratsion usullarda chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi ketma-ket yaqinlashishlarning limiti sifatida topiladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali aniqlash usuli, ya’ni Gauss usulini ko‘rib chiqamiz.

Bu usul bir necha hisoblash yo‘llariga ega. Shulardan biri Gaussning kompleks yo‘lidir.

Ushbu sistema berilgan bo‘lsin

 (1)

Faraz qilaylik, a₁₁≠0 (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, oldidagi koeffisienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.

Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini a₁₁ ga bo‘lib,

 (2)

ni hosil qilamiz, bu yerda

. . . ,

yoki qisqacha 

(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida x₁ ni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket a₂₁, a₃₁, … larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo‘ladi.


 (3)

bu yerda  koeffisientlar

,

formula yordamida hisoblanadi.

Endi (3) sistema ustida ham shunga o‘xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini yetakchi element   ga bo‘lib,

 (4)

ni hosil qilamiz, bu yerda

(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek x₂ ni yo‘qotib,

sistemaga kelamiz, bu yerda

Noma’lumlarni yo‘qotish jarayoni davom ettirilib, bu jarayonni m–qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilamiz va m – qadamda quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz.

 (5)

bu yerda

 .

Faraz qilaylik, m mumkin bo‘lgan oxirgi qadamning nomeri bo‘lsin. Ikki hol bo‘lishi mumkin: m=n yoki m. Agar m=n uchburchak matritsali va (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi

 (6)

sistemaga ega bo‘lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket  larni topish mumkin

 (7)

(6) uchburchak sistemasining koeffisientlarini topish Gauss usulining to‘g‘ri yurishi, (7) sistemadan yechimini topish Gauss usulining teskari yurishi deyiladi.