O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila uchun quyidagi formula o`rinli edi (I.8-§): . x=0 da f(0)=0 va

Shuning uchun (2.10) formulaga ko`ra
(3.5) ko`rinishdagi yoyilmaga ega bo`lamiz.

2-rasm
2-rasmda f(x)=sinx, P₃(x), P₅(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi. Ma`lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun formulaga egamiz.
x=0 da f(0)=1 va
Demak, cosx funksiya uchun quyidagi formula o`rinli:
(2.6)

3-rasm
3-rasmda f(x)=cosx, P₂(x), P₄(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
f(x)=(1+x)^ (R) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya
(-1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)^ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz:
,
,
. (3.7)
Ravshanki, f(0)=1, f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)...(-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)^ funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:
(3.8)
0<<1.
f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiyaning
(-1;) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, funksiyasiga (3.7) formulani qo`llab, unda =-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak, formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f<sup>(n)</sup>(0)=(-1)<sup>n-1</sup>(n-1)! Shuni e`tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz:
(3.9)
Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko`ramiz.
Misol. Ushbu f(x)=e<sup>-3x</sup> funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f`(0),...,f⁽ⁿ⁾(0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=e^x funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (3.1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada
, 0<<1,
formulaga ega bo`lamiz.
Misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x<sub>0</sub>=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
lnx= , 0<  <1
formulaga ega bo`lamiz. Bu formula x-1>-1 bo`lganda, ya`ni x>0 larda o`rinli.
Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash.
Makloren formulasi Lagranj ko`rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o`zgarmas M son mavjud bo`lsinki, argument x ning x₀=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f⁽ⁿ⁾(x)|M tengsizlik o`rinli bo`lsin. U holda
|R_n(x)|=| |M
tengsizlik o`rinli bo`ladi. Argument x ning tayin qiymatida =0 tenglik o`rinli, demak n ning yetarlicha katta qiymatlarida R<sub>n</sub>(x) yetarlicha kichik bo`lar ekan.
Shunday qilib, x₀=0 nuqta atrofida f(x) funksiyani
f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x<sup>2</sup>+ ... + f<sup>(n)</sup>(0)x<sup>n</sup>
ko`phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun
f(x) f(0)+ f`(0)x+ f``(0)x<sup>2</sup>+ ... + f<sup>(n)</sup>(0)x<sup>n</sup>
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik |R<sub>n</sub>(x)| ga teng bo`ladi.
Misol. e^0,1 ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. e^x funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (3.1) formulada x=0,01 deb olsak, u holda
,
masala shartiga ko`ra xatolik 0,001 dan katta bo`lmasligi kerak, demak
R_n(x)= <0,001 tengsizlik o`rinli bo`ladigan birinchi n ni topish yetarli. e^0,1 <2 ekanligini e`tiborga olsak, so`ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin:
.
Endi n=1, 2, 3, ... qiymatlarni so`ngi tengsizlikka qo`yib tekshiramiz va bu tengsizlik n=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
.
Xususiy holda, n=1 bo`lganda
f(x)f(x<sub>0</sub>)+f`(x₀)(x-x₀) taqribiy hisoblash formulasi R₂(x)= (x-x₀)², x₀< aniqlikda o`rinli bo`ladi.
Misol. Differensial yordamida radiusi r=1,01 bo`lgan doira yuzini toping. Hisoblash xatoligini baholang.
Yechish. Doira yuzi S=r<sup>2</sup> ga teng. Bunda r<sub>0</sub>=1, r=0,01 deb olamiz va S=S(r) funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtiramiz:
S(r)  S(r<sub>0</sub>)+dS(r<sub>0</sub>)= S(r<sub>0</sub>)+ S`(r₀)r.
Natijada
S(1,01)  S(1)+dS(1)= S(1)+ S`(1)0,01=1<sup>2</sup>+20,01=1,02 hosil bo`ladi.
Bunda hisoblash xatoligi
R₂(r)= (r-r₀)², r₀< dan katta emas. S``(r)=2 va r ga bog`liq emas, shu sababli R<sub>2</sub>(r)= 0,01<sup>2</sup>=0,0001. Demak, hisoblash xatoligi 0,000314 dan katta emas.
Misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x=0,03 nuqtadagi qiymatini differensial yordamida hisoblang. Xatolikni baholang.
Yechish. Taqribiy hisoblash formulasi f(x)f(x<sub>0</sub>)+f`(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>) da x<sub>0</sub>=0, x=0,03 qiymatlarni qo`ysak, f(0,03)f(0)+f`(0)0,03 bo`lib, xatolik
R<sub>2</sub>= x<sup>2</sup>= 0,03<sup>2</sup>, 0<<0,03 bo`ladi.
Berilgan funksiya hosilalarini va nuqtadagi qiymatlarini hisoblamiz: f`(x)=(2x-1) , bundan f`(0)=-1, f``(x)=2 +(2x-1)² = = (4x²-4x+3), bundan f``()<3. Olingan natijalardan foydalanib, f(0,03)1+(-1)0,03=0,97 va R₂< 0,03²=0,0017 ekanligini topamiz.
Teylor formulasi funksiyalarni ekstremumga tekshirishda, qatorlar nazariyasida, integrallarni hisoblashlarda ham keng tatbiqqa ega.