O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Kurs ishi mavzusining amaliy ahamiyati: Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursida differensial tenglamalarni yechish usullari o’rganiladi. Lekin tenglamalarning aksariyat qismi kvadraturalarda yechilmasligi sababli bu fanni o’rganish davomida kvadraturalarda yechilmaydigan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish mumkinligi xaqida ma’lumotlar berib o’tiladi, lekin bu ma’lumotlar qisqa va yetarlicha emasdir.
Buning natijasida izlanuvchilar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullaridan batafsil xabardor bo’la olmaydilar.
Oddiy differensial tenglamalrni darajali qatorlar yordamida yechish masalasini maxsus funksiyalar yordamida yoritish, misollarni ko’rib chiqish differensial tenglamalarni yechish soxasidagi dolzarb masala bo’lib xisoblanadi.
Bu kurs ishini tayyorlash uchun avvalo oddiy differensial tenglamalar kursidan
chiziqli oddiy differensial tenglamalar, maxsus funksiyalar mavzularini, shuningdek matematik analiz kursidan darajali qatorlar keng ma’noda puxta o’rganib chiqishga harakat qildim. O’rgangan materiallar asosida chiziqli differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullarini o’rganishni asosiy maqsad qilib qo’ydim.

I-bob. Darajali qatorlar av uning xossalari
1.1-§. Darajali qatorlar.
1. Bizga ma’lumki funksional qatorlar orasida, ularning xususiy holi bо‘lgan ushbu
(1.1.1)
yoki, umumiyroq,
(1.1.2)
qatorlar (bunda - о‘zgarmas haqiqiy sonlar) matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol о‘ynaydi. Bu yerda, sifatida
(yoki ,
ya’ni (yoki ) о‘zgaruvchining darajalari qaralyapti. Shu sababli (1.1.1) va (1.1.2) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi [1,b 45].
Agar (1.1.2) qatorda deb olinsa, u holda bu qator о‘zgaruvchiga nisbatan (1.1.1) qator kо‘rinishiga keladi. Demak, (1.1.1) qatorlarni о‘rganish kifoyadir.
(1.1.1) ifodadagi haqiqiy sonlar (1.1.1) darajali qatorning koeffitsiyentlari deb ataladi.
Darajali qatoring tuzilishidan, darajali qatorlar bir – biridan faqat koeffitsiyentlari bilangina farq qilishini kо‘ramiz. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koeffitsiyentlari berilgan deganini tushunamiz.
Misollar. Ushbu
1.
2.
qatorlar darajali qatorlardir.
Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi ( ) da berilgan funksiyadir. Binobarin, darajali qatorni, normal nuqtai nazardan, ( ) da qarash mumkin. Ammo, tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bо‘ladi deya olmaymiz.
Albatta, ixtiyoriy darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bо‘ladi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi albatta nuqtani о‘z ichiga oladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasi (tо‘plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslanadi.
1-teorema (Abel teoremasi). Agar
(1.1.1)
darajali qator ning qiymatida yaqnlashuvchi bо‘lsa, ning
(1.1.3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (1.1.1) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bо‘ladi [1, b 56].
2.Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Endi darajali qatorning yaqinlashish sohasi strukturasini aniqlaylik.
2-teorema. Agar
(1.1.1)
darajali qator ning ba’zi ( ) qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bо‘lsa, u holda shunday yagona haqiqiy son topiladiki (1.1.1) darajali qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi [1, b 67].
Isbot. Berilgan (1.1.1) darajali qator da yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bо‘lsin. Ravshanki, bо‘ladi. Unda 1-teorema hamda
1-natijaga muvofiq (1.1.1) darajali qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bо‘ladi. Jumladan (1.1.1) darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, b(b>|x₁|) nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘ladi (1-chizma). Demak, (1.1.1) qator segmentning chap chekkasida yaqinlashuvchi, о‘ng chekkasida esa uzoqlashuvchi.
segmentning о‘rtasi nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraylik. Agar (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, unda segmentni, nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lsa, segmentni olib, uni orqali belgilaylik. Demak, (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada esa uzoqlashuvchi



1-chizma

bо‘lib, segmentning uzunligi ga tengdir. Sо‘ng segmentnipg о‘rtasi nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) qatorni qaraymiz. Agar u nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, unda segmentni, uzoqlashuvchi bо‘lsa, segmentni olib, uni orqali belgilaymiz. Demak, (1.1.1) qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada esa uzoqlashuvchi bо‘lib, segmentning uzunligi ga tengdir.

3.Koshi - Adamar teoremasi. Yuqorida kо‘rdikki, darajali qatorlarnipg yaqinlashish sohasi sodda strukturaga ega bо‘lar ekan: yoki interval, yoki yarim interval, yoki segment. Hamma hollarda ham bu soha yaqinlashish radiusi r orqali ifodalanadi.
Ma’lumki, har qanday darajali qator
(1.1.1)
о‘zining koeffitsiyeptlari ketma-ketligi bilan apiqlanadi. Binobarin, uning yaqinlashish radiusi ham shu koeffitsiyentlar ketma- ketligi orqali qandaydir topilishi kerak. Berilgan (1.1.1) darajali qator koeffitsiyentlari yordamida :
(1.1.6)
sonlar ketma-ketligini tuzamiz.
Ma’lumki, har qanday sonlar ketma- ketligining yuqori limiti mavjud. Demak, (1.1.6) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega [6, b 33].
Uni bilan belgilaylik:

3-teorema: (Koshi - Adamar teoremasi). Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi
(1.1.7)
bо‘ladi [6, b 34].
2-eslatma. Yuqoridagi (1.1.7) formulada bо‘lganda bо‘lganda esa deb olinadi.


Isbot. (1.1.7) formulanipg tо‘g‘riligini kо‘rsatishda quyidagi
1) , 2) , 3)
hollarni alohida-alohida qaraymiz.
1) bо‘lsin. Bu holda ketma-ketlik chegaralanmagandir. Ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtada (1.1.1) darajali qatornipg uzoqlashuvchi ekanini kо‘rsatamiz.
2) bо‘lsin. Bu holda ixtiyoriy nuqtada (14.27) darajali qatorning yaqinlashuvchi bо‘lishini kо‘rsatamiz. Modomiki, ketma-ketlikning yuqori limiti nolga teng ekan, bundan uning limiti ham mavjud va nolga tepgligi kelib chiqadi. Ta’rifga asosan son olinganda ham, jumladan ga kо‘ra shunday topiladiki, barcha uchun

bо‘ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bо‘lishi kelib chiqadi.
3) bо‘lsin. Bu holda (1.1.1) darajali qator ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi, ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lishini kо‘rsatamiz.