Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

у

q

Р

у

ух

х

у

q

Р

у

ух

х
deb, bu erda u u
2
ga nisbatan 

kubik bo’lgan u

6
+2ru

4
+(r

2
-4r)u

2
–q

2

=0 orqali aniqlaydi (isbotsiz).

3-, 4- darajali tenglamalarni geometriya vositalari yordamida echishni ikki 
o’rta iroportsional miqdorni va burchakni teng uchga bo’lishni yasash masalasiga
olib keladi (arabcha usulda). 
Kitobni muhokamasini yakunlar ekanmiz, uning bir qator kamchiliklarini sa-
nab o’taylik. 
1) faqat algebrik chiziqlar qaraladi;
2) chiziqlarni klassifikatsiyasi daraja bo’yicha emas; 
3) algebrik apparatni geometriyaga tadbiqi nihoyasiga etmaydi;
4) koordinatalar o’qlari teng kuchli emas; 
5) chiziqlarning xossalari faqat 1-chorakda o’rganilgan.
Dekart bilan bir vaqtda analitik geometriyaga asos solgan olim Frantsiyaning 
Tuluza shahridan Pьer Ferma (1601-1665, savdogar oilasidan). Asli Tuluza universi-

---

---

57

tetini yuridik fakulьtetini bitirgan. Bo’sh vaqtlarida matematika bilan shug’ullangan.
Sonlar nazariyasi, geometriya, cheksiz kichiklar ustida operatsiyalar bajarish va op-
tika sohalarida katta yutuqlarga erishdi. Uning “Tekislikdagi va fazodagi geometrik
o’rinlar nazariyasiga kirish” asari 1636 yili yozilgan bo’lib, 1679 yili e’lon qilingan. Bu 
asarda Ferma analitik geometriya nazariyasini olg’a suradi, ya’ni koordinatalar
to’g’ri chizig’i va algebrik metodlarni geometriyaga tatbiq etilishini ko’rsatadi. Bu 
asarda u Apolloniyning geometrik o’rinlar nazariyasini rivojlantirib, tekislikdagi
geometrik o’rinlar – to’g’ri chiziq va aylana hamda fazodagi geometrik o’rinlar – ko-
nus kesmalarini o’rganish bo’lib, 1-darajali tenglamalarga – to’g’ri chiziq va konus
kesmalarga 2- darajali tenglamalar mos kelishini ko’rsatadi. Koordinatalar metodi 
Dekartnikidaka edi.
Dastlab u koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi ax=vu 
ko’rinishda ekanligini isbotlaydi, so’ngra to’g’ri burchakli koordinatalarda markazi
koordinata boshida bo’lgan aylana tenglamasini; asimptotalar orqali giperbolani; 
diametri orqali parabolani; qo’shma diametrlar orqali ellips tenglamalarini chiqara-
di.

1- va 2- darajali tenglamalarni umumiy ko’rinishda tekshirib, koordinatalarni

o’zgartirish (o’qlarni burish va koordinata boshini siljitish) natijasida ularni kanonik 
formaga keltiradi va geometrik izohlashni qulaylashtiradi.
Misol: 2x
2
+2xu+u

2
=a

2

⇒(x+u)
2

+x

2
=a

2

Yangi o’qlarni tanlaymiz x+u=0, x=0; u holda yangi koordinatalar x

1
=

2

x,
u
1

=x+u bo’lib, tenglama

2
2

2
1

2

1
2

у


х

а
ko’rinishga keladi. Apolloniy bo’yicha bu ellips 
edi y=mx, xy=k
2
, x

2
+y

2

=a
2

, x

2
±a

2

y
2

=v

2
.

Fazodagi geometrik o’rinlarni analitik geometriya yordamida o’rganishda
Ferma sirtlarni tekislik bilan kesish usulidan foydalanadi. Afsuski, u bu ishni davom 
ettirmaydi va unda fazoviy koordinatalar yo’q edi.
Biz analitik geometriya elementlarini o’z ichiga olgan asarlardan ikkitasi bilan 
tanishdik. Qariyb 70 yil davomida bu soha sekinlik bilan rivojlandi.
1658 yili yarim kubik parabola masalasi hal qilindi. 
1679 yili F.Lagir (1640-1718) tekislik tenglamasini,
1700 yili A.Paron (1666-1716) sferik sirt va unga urinma tekislik tenglamalarini 
topdi.
1704 yilda I.Nьyuton “3-tartibli chiziqlar ro’yxati” nomli asarida bu sohani sis-
temaga keltirib biroz rivojlantirdi.
Klero (1713-1765) fazoda uch o’lchovli to’g’ri burchakli koordinatalar sistema-
sini kiritdi.
1748 yilda L.Eyler “Analizga kirish” asarida bu sohani hozirgi zamon analitik 
geometriya ko’rinishiga yaqinlashtirdi.
Nomini esa XVIII asr oxirida frantsuz S.Lakrua berdi. 

---

---

58

Bu davr matematiklari o’z ishlarida matematikaning yangi va eski turli sohala-
rini qamrab oldilar. Ular klassik bo’limlarni yangi metodlar bilan boyitish bilan birga 
ulardan yangi sohalarni va umuman yangi sohalarni kashf etdilar.
Jumladan Ferma Diofantni o’rganish bilan qadimgi sohani yangi metodlar bi-
lan boyitdi (sonlar nazariyasi).
Dezarg esa geometriyani yangicha interpretatsiya qilish bilan proektiv geo-
metriyani ijod etdi.
Ferma, Paskalь matematikaning mutlaqo yangi sohasi ehtimollar nazariyasi-
ga asos soldilar.
Endi ularning assoiy ishlari bilan tanishaylik. 
1) 1621 yilda Diofant asari lotin tilida chiqadi. Bu kitobni o’rgangan Ferma ki-
tob varag’ining chetida bir qancha yozuvlar qoldirgan (1670 yili o’g’li e’lon qilgan). 
x
n

+y

n
=z
n

, agar n>2 bo’lsa, butun musbat sonlar to’plamida echimi yo’q (Fermaning

buyuk teoremasi). 
2-kitobning 8-masalasiga – kvadrat sonni ikkita kvadrat songa ajratish – qar-
shisiga kubni ikkita kubga, to’rtinchi darajani va hokazo 2 dan katta bo’lgan darajani 
shu ko’rsakkich bilan ifodalangan ikkita daraja ko’rinishida tasvirlash mumkin emas
deb yozadi va isbotini joy etmaganini bohonasida keltirmaganini ko’rsatadi. 
Yana bir joyda 4n+1 ko’rinishdagi tub son faqat birgina usulda ikkita kvadrat-
larning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. Bu teoremani keyinroq Eyler isbot-
ladi.
Agar r tub, (a,r)=1 bo’lsa, a

r-1
-1∶r ni isbotlaydi. x

2
-Au

2
=1, A butun va kvadrat 

emas bo’lganda cheksiz ko’p butun echimlarga ega bo’ladi deydi.
2) Lionlik arxitektor Jerar Dezarg 1636 yilda e’lon qilgan “Konusni tekislik bi-
lan uchrashganida hosil bo’ladigan narsalarni tushunish uchun urinish” maqolasida
sintetik geometriyaning asosiy tushunchalaridan ba’zilari: cheksiz uzoqlashgan 
nuqta, involyutsiya, qutbdagi munosabatlar va boshqalar haqida gap yuritadi. 1641
yil 16 yashar Paskalь konus kesimga ichki chizilgan oltiburchak haqida “Paskalь teo-
remasini” isbotlaydi va bir varaqda e’lon qiladi. Bu Dezargga yangi ilhom baxsh eta-
di. Natijada 1648 yili Dezarg uchburchaklarni perspektiv akslantirish haqidagi teo-
remasini yangidan bayon etadi. Bu fikrlarning aktualligi va sermahzulligi XIX asrga
kelib to’la ma’noda ochiladi. 
3) Ferma va Paskalь (1623-1662) ehtimollar nazariyasining asoschilaridir. Das-
tlab ehtimollik sug’urta ishlarining rivojlanishi bilan bog’liqdir (Birinchi sug’urta 
tashkilotlari XIV asrda Italiya, Niderlandiyada paydo bo’ldi). Shu bilan bir qatorda
matematiklar oldiga qimor o’yinlari (karta, ochkoli tosh) bilan bog’liq masalalar 
qo’yiladi. Jumladan Kavalьer de Mers (o’zi ham matematik bo’lgan) Paskalьga
“Ochkolar haqida masala” bilan murojat etadi. Buning natijasida u Ferma bilan bir-
galikda bu va shunga o’xshash masalalar bilan shug’ullanishadi va ular ehtimollar
nazariyasining asosiy tushunchalarini hal (1654) etishadi. Parijga kelgan o’yugens 
bundan xabar topadi va masalaga o’zining echimini beradi va 1657 yili chiqqan “Qi-

---

---

59

mor o’yinlaridagi hisoblar haqida” asarida bayon etadi. Bu asar ehtimollar nazariya-
siga oid birinchi asardir. 
1664 yilda (o’limidan so’ng) Paskalь uchburchagi 1671 va 1693 yillarda de Vitt
va o’elleylar tomonidan tug’ilish va o’lish jadvalini e’lon qilinishi va aholini joylashish 
statistikasi, kuzatishlarni nazariy ishlab chiqish metodlari va boshqalar ehtimollar
nazariyasini fan sifatida shakllanishga olib keldi. 
Ehtimollar nazariyasining bundan keyingi rivoji Yakob Bernulli(1654-1705) bi-
lan bog’liqdir. 1713 yilda e’lon qilingan “Taxmin qilish san’ati” kitobining 1-bo’limida 
o’yugensning qimor o’yinlari haqida traktati to’liq berilgan keyingi bo’limlarida
kombinatorika qaralgan bo’lib, Bernulli teoremasi va Paskalь uchburchagini qarash 
natijasida Bernulli sonlari paydo bo’lishi va nihoyat katta sonlar qonunining ochilishi
ehtimollar nazariyasini ilmiy fan darajasiga ko’tardi. 
Tekshirish savollari: 

1. XVI-XVII asrdagi ilmiy revolyutsiya nimadan iborat.

2. Dekart analitik geometriyasini izoxlang. 
3. Ferma analitik geometriyasini izoxlang.
4. Matematika kanday shakllandi va rivojlandi.