Sadržaj Sadržaj

verižni indeksi < 100: od apscise prema nižim vrijednostima ordinate

nagib ucrtane linije – intenzitet relativne promjene

postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100)

• postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100)

• kao da je riječ o originalnim frekvencijama VN

ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim množenjem:

• ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim množenjem:

• I t-1 * Vt

• It =

• 100

• t=2,3,..., N

• ako bazno razdoblje nije prvo u nizu

• - bazni indeks za razdoblja koja prethode baznom:

• I t-1 * Vt

• It = ; kada je t > b

• 100

• I t

• I t-1 = *100 ; kada je t < b

• V t

• I t = 100 ; kada je t = b

neke pojave su statičkog karaktera

• neke pojave su statičkog karaktera

• nemaju opću razvojnu tendenciju

• analiziraju se statičnim srednjim vrijednostima

• VRSTE:

• - AS intervalnog VN

• - kronološka sredina trenutačnog VN

• - geometrijska sredina

• (upotrebljava se u analizi intervalnog i trenutačnog VN)

Vremenski trenutačni niz je sastavljen od frekvencija čije se vrijednosti u pravilu ne mogu zbrajati te iz toga proizlazi da se za VTN ne bi mogla izračunati srednja vrijednost

• Vremenski trenutačni niz je sastavljen od frekvencija čije se vrijednosti u pravilu ne mogu zbrajati te iz toga proizlazi da se za VTN ne bi mogla izračunati srednja vrijednost

• Stoga se VTN transformira u IVN te se pomoću kronološke sredine računa srednja vrijednost

Primjena:

• Primjena:

• u analizi VN negrupiranih i grupiranih podataka (“prosječan tempo promjene”)

• kao srednja vrijednost numeričkih nizova za nizove sa asimetričnim rasporedom podataka

Skupnim indeksima se mjeri dinamika skupine pojava ili se utvrđuju varijacije heterogene skupine pojava na različitim mjestima (npr. potrošnja, izvoz, uvoz,industrijska proizvodnja )

• Skupnim indeksima se mjeri dinamika skupine pojava ili se utvrđuju varijacije heterogene skupine pojava na različitim mjestima (npr. potrošnja, izvoz, uvoz,industrijska proizvodnja )

• Najčešće se dinamika heterogenih pojava prati kroz vrijednosni način izražavanja

• Razlikujemo:

• -    skupni indeksi količina

• -   skupni indeksi cijena

• -    skupni indeks vrijednosti

p0 = cijene baznoga razdoblja

• p0 = cijene baznoga razdoblja

• p1 = cijene izvještajnoga razdoblja

• q0 = količine baznoga razdoblja

• q1 = količine izvještajnoga razdoblja

• p0q0 = ponder vrijednosti baznoga

• razdoblja

• p1q1 = ponder vrijednosti izvještajnoga razdoblja

Sve nizove koji su zadani svesti na istu bazu (stalnu ili promjenjivu)

• Sve nizove koji su zadani svesti na istu bazu (stalnu ili promjenjivu)

• Indekse na stalnoj bazi svesti na isto bazno razdoblje

Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:

• Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:

• trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme

• sezonske oscilacije, koje se pojavljuju unutar jedne godine

• ciklične komponente

• slučajne komponente, koje čine slučajni, teško predvidivi događaji

Najčešća: metoda najmanjih kvadrata Izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka nuli (model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije)

• Najčešća: metoda najmanjih kvadrata Izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka nuli (model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije)

izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka 0

• izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka 0

• Označe li se podaci sa Yi, a trend podatke sa Yci, te primjeni li se metoda najmanjih kvadrata, vrijedi sljedeće:

• Nadalje vrijedi sljedeće:

Ako su promatranja po:

• Ako su promatranja po:

• osnovna tendencija je linearna,

• linearni trend je polinom prvog

• stupnja f(x) = a+bx

Jednadžba linearnog trenda je jednadžba

• Jednadžba linearnog trenda je jednadžba

• pravca:

• Yci=a+bx , i=1,2,...k

• gdje su:

• Yci – zavisna varijabla (trend vrijednosti)

• Xi – oznaka za vrijeme (nezavisna varijabla)

• parametar a – vrijednost trenda u ishodištu

• parametar b – koeficijent smjera pravca, te kazuje koliko se pojava mijenja u jedinici vremena

Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način:

• Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način:

• parametar b: parametar a:

• Suma trend vrijednosti mora biti jednaka

• sumi originalnih vrijednosti promatranog

• niza

Formule za izračunavanje parametara a i b su sljedeće:

• Formule za izračunavanje parametara a i b su sljedeće:

utvrđivanje međusobne povezanosti pojava koje se proučavaju te na osnovi jedne pojave predviđaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi

• utvrđivanje međusobne povezanosti pojava koje se proučavaju te na osnovi jedne pojave predviđaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi

• POVEZANOST MEĐU POJAVAMA

• MOŽE BITI

• uzročno-posljedična

• (regresijski model y=a+bx)

• korelativna

• (korelacijski model x=f(y) ili y=f(x))

jednostavna

• jednostavna

• - jedan uzrok jedna posljedica

• složena

• - jedan uzrok - više posljedica

• - više uzroka - jedna posljedica

• - više uzroka i više posljedica

pojava postoji kada promjene u jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno ,a da jedno nisu uzrok drugima

• pojava postoji kada promjene u jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno ,a da jedno nisu uzrok drugima

• proučavanjem korelativnih odnosa ne utvrđuju se uzročno-posljedični odnosi ,ali se pridonosi boljem razumjevanju pojava i događaja koje istražujemo i njihovom boljem predviđanju

indikator povezanosti između pojava je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE između varijabli

• indikator povezanosti između pojava je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE između varijabli

• pokazuje smjer i intenzitet povezanosti između promatranih, registriranih i mjerenih pojava

• koef. korelacije vrlo rijetko ukazuje na uzročno-posljedičnu povezanost,a puno češće ukazuje na korelativni odnos između promatranih pojava

1. Utvrđivanje postojanja veze između pojava ili varijabli (A i B)

• 1. Utvrđivanje postojanja veze između pojava ili varijabli (A i B)

• 2. Utvrđivanje intenziteta i smjera povezanosti među varijablama

• 3. Utvrđivanje oblika veze među varijablama - funkcionalna

• 4. Utvrđivanje jakosti veze među pojavama - stohastička (statistička)

postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave

• postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave

• DIJAGRAM RASIPANJA (scatter diagram) – pruža informacije o obliku, smjeru i jakosti veze

• UKUPNA VARIJANCA= PROTUMAČENI DIO + NEPROTUMAČENI DIO

protumačeni dio odstupanja

• protumačeni dio odstupanja

• Koeficijent determinacije=

• ukupna odstupanja

• Kako je r2 dan u drugom stupnju češće se koristi PEARSONOV KOEFICIJENT KORELACIJE (r)

• r = ± 1
• (mjera jakosti samo za LINEARNU korelaciju)

kod tumačenja koeficijenta korelacije (r) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije (r2), te da npr.

• kod tumačenja koeficijenta korelacije (r) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije (r2), te da npr.

• r=0,70 znači r2=0,49, da je tek 50 % ukupnih odstupanja objašnjivo s promatrane dvije pojave

kada se veza među pojavama najbolje ilustrira krivom linijom

• kada se veza među pojavama najbolje ilustrira krivom linijom

• prva orjentacija o krivolinijskoj regresiji se dobiva preko dijagrama rasipanja na temelju kojeg se odlučuje koja se matematička krivulja najbolje prilagođuje nacrtanim originalnim vrijednostima.Jakost krivolinijske veze mjeri se INDEKSOM KORELACIJE  (ro)

koristi se u slučaju utvrđivanja povezanosti između dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable

• koristi se u slučaju utvrđivanja povezanosti između dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable

• KORELACIJA RANGA

• jakost veze između pojava promatranih po redoslijednom obilježju mjeri se koeficijentom korelacije ranga

Postupak izračunavanja:

• Postupak izračunavanja:

• upare se vrijednosti redoslijednog obilježja za svaku statističku jedinicu

• jednom obilježju odredi se rang i poreda ga se po redoslijedu – drugo obilježje mu se pridružuje ne rasparujući prethodno stvorene parove

• ako se u nizu pojavi više jednakih vrijednosti njihovi se rangovi zbroje i podijele s brojem pojavljivanja, te se tako izračunana vrijednost pridružuje jednakim članovima niza

4) najniži rang pripada najnižoj vrijednosti obilježja, najviši rang najvišoj vrijednoati obilježja

• 4) najniži rang pripada najnižoj vrijednosti obilježja, najviši rang najvišoj vrijednoati obilježja

• 5) izračuna se di=xri – yri kao razlika ranga za svaku statističku jedinicu

• 6) izračuna se kvadrat razlika di2

nije osobito precizna mjera

• nije osobito precizna mjera

• primjenom ovog koeficijenta korelacije ne mogu se izračunati ostali pokazatelji kao što su koeficijent regresije, koeficijent determinacije, jednadžba analize varijance, jednadžba regresije.

• Osnovicu za analizu reprezentativnosti regresijskih modela čine sljedeći statistički pokazatelji i metode:

• Rezidualna odstupanja

• Relativna rezidualna odstupanja

• Standardizirana odstupanja

• Koeficijent determinacije

• Koeficijent korelacije

• Standardna greška regresije

• Analiza varijance (ANOVA)

• Testiranje razine signifikantnosti regresijskih koeficijenata

• Određivanje intervala povjerenja regresijskih koeficijenata

• Određivanje intervala povjerenja prognoziranih vrijednosti

• Testiranje razine signifikantnosti koeficijenta korelacije

Koristi se prosudbu valjanosti i primjenjivosti modela višestruke regresije

• Koristi se prosudbu valjanosti i primjenjivosti modela višestruke regresije

ORIGINALNE, EMPIRIJSKE, OPAŽENE DISTRIBUCIJE su formirane grupiranjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju.

• ORIGINALNE, EMPIRIJSKE, OPAŽENE DISTRIBUCIJE su formirane grupiranjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju.

• TEORIJSKE DISTRIBUCIJE očekivane distribucije u skladu s našim iskustvom ili na temelju teorijskih postavki. Pretpostavljamo ih u nekom statističkom modelu ili ih postavljamo kao hipotezu koju treba ispitati.

• Pojavljuju se u funkciji distribucije vjerojatnosti

1. BINOMNA DISTRIBUCIJA

• 1. BINOMNA DISTRIBUCIJA

• 2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA

najjednostavnija teorijska distribucija

• najjednostavnija teorijska distribucija

• distribucija za alternativna obilježja

• 2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA

• koristi se za opis rijetkih događaja, tj. događaja s malom vjerojatnošću (br. kvarova strojeva:mjesečni (tjedni), broj dolazaka po min. , broj ˇpadovaˇračunala u jednom mjesecu)

najpoznatije:

• najpoznatije:

• NORMALNA (GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA

• STUDENTOVA (t) DISTRIBUCIJA

• HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA

• F DISTRIBUCIJA

Ima oblik zvona

• Ima oblik zvona

• Unimodalna je

• Proteže se od - do + 

• Simetrična je, pa je 3=0

• Mjera zaobljenosti je 4=3

• Egzaktan oblik normalne krivulje bit će poznat ako su poznate arit.sred. i stand.devij.

Kod uzoraka koji broje više od 30 jedinica približava se oblikom i svojstvima normalnoj distribuciji

• Kod uzoraka koji broje više od 30 jedinica približava se oblikom i svojstvima normalnoj distribuciji

• Kod n<30 razvučena je po apscisi (u odnosu na normalnu)

Odnos dviju varijanci

• Odnos dviju varijanci

• 4 . Hi-kvadrat distribucija

• Primjenjuje se kada treba donijeti odluku o signifikantnosti razlika između stvarnih (opaženih) i teorijskih (očekivanih) frekvencija

• Može zauzeti vrijednosti od 0 do 

Populacija (odluka, koje jedinice sudjeluju u populaciji )

• Populacija (odluka, koje jedinice sudjeluju u populaciji )

• Okvir uzorka (popis jedinica, iz kojeg se izabiru jedinice u uzorak npr.popis zaposlenih, lista pretplatnika )

Na osnovi uzorka procijene karakteristike osnovnog skupa

• Na osnovi uzorka procijene karakteristike osnovnog skupa

• Na osnovi podataka donosi se odluka o prihvaćanju, odnosno odbacivanju hipoteze koja se odnosi na neku karakteristiku osnovnog skupa

Određivanje populacije

• Određivanje populacije

• Izabiranje primjerenog okvira uzorka

• Izabiranje plana uzorka (metode za izbor uzorka )

• Određivanje potrebne veličine uzorka

1. UZORCI BEZ PRIMJENE VJEROJATNOSTI

• 1. UZORCI BEZ PRIMJENE VJEROJATNOSTI

• Prigodni uzorci

• Namjerni uzorci

• Kvotni uzorci

2. UZORCI UZ PRIMJENU VJEROJATNOSTI

• 2. UZORCI UZ PRIMJENU VJEROJATNOSTI

• Jednostavni slučajni uzorak

• Stratificirani uzorak

• proporcionalan

• neproporcionalan

• Uzorak skupina

• sustavan

• područni

Literatura:

• Literatura:

• Kazmier, Leonard J.: Business Statistics. McGraw-Hill, 2004.

• Neufeld, J. L.: Learning Business Statistics with Microsoft Excel, Prentice Hall, New Jersey, 1997.

• Newbold, Paul / Carlson, William L. / Thorne, Betty M.: Statistics for Business and Economics. Prentice-Hall, 2002.

• Petz, Boris: Osnovne statističke metode za nematematičare. Slap, Jastrebarsko, 2004.

• Sekulić, Branko et al.: Primjena matematike za ekonomiste. Informator, Zagreb 1996.

• Spiegel, Murray R. / Stephens, Larry J.: Statistics. McGraw-Hill, 1999.

• Studenmund, A. H.: Using Econometrics: A Practical Guide, HarperCollins Publishers Inc., New York, 1996.

• Šošić, I.: Pregled formula iz statistike, Mikrorad, Zagreb

• Šošić, Ivan / Serdar, Vladimir: Uvod u statistiku. Školska knjiga, Zagreb, 2002.

• Šošić, Ivan: Primijenjena statistika. Školska knjiga, Zagreb, 2004.

• Šošić, Ivan: Zbirka zadataka iz statistike. Mikrorad, Zagreb, 1998.

• Wonnacott, Thomas H. / Wonnacott, Ronald J.: Introductory Statistics. Wiley, 1990.

• Sve tekuće informacije bit će objavljene na

• www.pravos.hr

Literatura:

• Literatura:

• Internet:

• http://www.efos-statistika.com/

• HyperStat Online (David M. Lane)

• Statistics: Power from Data! (Statistics Canada)

• Introductory Statistics: Concepts, Models and Applications (David W. Stockburger)

• Introduction to Probability (Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell)

• Virtual Laboratories in Probability and Statistics

• The R Project for Statistical Computing

• Sve tekuće informacije bit će objavljene na

• www.pravos.hr