To'plamlar ustida amallar xossalarining isbotlarini o'rganish To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari

Kattaligi son bilan o'lchanadigan va ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa deyiladi.
Ko'pchilik qandaydir umumiy xususiyat bilan birlashtirilgan ba'zi elementlar to'plami deyiladi. To'plamning elementlari raqamlar, raqamlar, ob'ektlar, tushunchalar va boshqalar bo'lishi mumkin.
To'plamlar katta harflar bilan, elementlar esa kichik harflarda ko'paytmalar bilan ko'rsatilgan. To'plam elementlari jingalak qavslar ichiga o'ralgan.
Agar element x to‘plamga tegishli X keyin yozing x∈NS (∈ - tegishli).
Agar A to'plami B to'plamining bir qismi bo'lsa, yozing A ⊂ B (⊂ - o'z ichiga oladi).
To'plam ikki usuldan birida ko'rsatilishi mumkin: sanab o'tish va aniqlovchi xususiyatdan foydalanish.
Masalan, quyidagi to'plamlar sanab o'tish orqali belgilanadi:

• A = (1,2,3,5,7) - raqamlar to'plami

  
  

• X = (x 1, x 2, ..., x n) - ba'zi elementlar to'plami x 1, x 2, ..., x n

  
  

• N = (1,2, ..., n) - natural sonlar to'plami

  
  

• Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - butun sonlar to'plami

  
  

(-∞; + ∞) to'plam chaqiriladi raqamlar qatori, va har qanday raqam bu chiziqning nuqtasidir. a sonlar chizig‘idagi ixtiyoriy nuqta va d musbat son bo‘lsin. Interval (a-d; a + d) deyiladi d-a nuqtaning qo'shnisi.

X to'plam yuqorida (pastda) chegaralangan bo'lsa, shunday c raqami bo'lsaki, har qanday x ∈ X uchun x≤s (x≥c) tengsizlik bajariladi. Bu holda c raqami deyiladi yuqori (pastki) chekka X to'plam. Yuqorida ham, pastda ham chegaralangan to'plam deyiladi cheklangan... To'plamning yuqori (pastki) chegaralarining eng kichigi (eng kattasi) deyiladi aniq yuqori (pastki) qirrasi bu to'plam.
Asosiy raqamlar to'plami

N	(1,2,3, ..., n) Hammasi to‘plami
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) To'plam butun sonlar. Butun sonlar to'plami ko'plab natural sonlarni o'z ichiga oladi.
Q	Kopgina ratsional sonlar. Butun sonlardan tashqari kasrlar ham mavjud. Kasr - bu shaklning ifodasi, bu erda p- butun son, q- tabiiy. O'nlik kasrlarni shunday yozish ham mumkin. Masalan: 0,25 = 25/100 = 1/4. Butun sonlarni shunday yozish ham mumkin. Masalan, "bir" maxraji bilan kasr sifatida: 2 = 2/1. Shunday qilib, har qanday ratsional sonni o'nlik kasr sifatida yozish mumkin - albatta yoki cheksiz davriy.
R	Hammasidan ko'p haqiqiy raqamlar. Irratsional sonlar - cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar. Bularga quyidagilar kiradi: Birgalikda ikkita to'plam (ratsional va irratsional sonlar) - haqiqiy (yoki haqiqiy) sonlar to'plamini tashkil qiladi.

Agar to'plamda biron bir element bo'lmasa, u chaqiriladi bo'sh to'plam va qayd qilinadi Ø .