Variatsiya ko‘rsatkichlari

8.10. Variatsiya koeffitsiyentlari

Yuqorida ko‘rib chiqilgan barcha variatsiya ko‘rsatkichlari o‘rganilayotgan belgi o‘lchangan o‘lchov birliklarida ifodalanadi. Ammo o‘lchov birliklari har xil bo‘lgan to‘plamlar variatsiyasini bu ko‘rsatkichlar yordamida qiyoslab bo‘lmaydi. Turli tabiatga ega bo‘lgan to‘plamlarga xos variatsiyani hatto o‘lchov birliklari bir xil bo‘lsa ham, ular asosida taqqoslash mumkin emas. Shu sababli statistikada variatsiyaning nisbiy me’yorlaridan foydalanish tavsiya etiladi. Kvadratik o‘rtacha tafovut, absolut o‘rtacha tafovut belgi o‘lchami bilan ifodalangani uchun ularni belgi darajasining biror me’yoriga bo‘lish kerak, masalan

Natijada hosil bo‘lgan ko‘rsatkichlar nisbiy variatsiya ko‘rsatkichlari deb ataladi. Yuqoridagi ifodalardan oxirgisi odatda foizda hisoblanadi va variatsiya koeffitsiyenti deb ataladi.


(8.14)
Bu yerda: - belgining arifmetik o‘rtacha qiymati;
 - o‘rtacha kvadratik tafovut.
O‘rtacha miqdor nolga yaqin bo‘lganda bu (8.14) koeffitsiyent birmuncha ishonchsiz hisoblanadi.


8.11. Geometrik dispersiya

Odatda bizni absolut emas, balki nisbiy tafovutlar qiziqtirganda geometrik o‘rtachadan foydalanamiz. Ma’lumki, geometrik o‘rtachaga nisbatan nisbiy tafovutlar hisoblanganda ular o‘zaro yeyishadi. Shuning uchun variatsiya ko‘rsatkichlari yordamida nisbiy tafovutlarni o‘lchash zarur bo‘lganda ular geometrik o‘rtachaga asoslanadi. Geometrik o‘rtacha logarifmi belgi qiymatlarining logarifmlariga asoslangan arifmetik o‘rtacha bo‘lgani uchun dispersiya ham ular asosida hisoblanadi, ya’ni

saflangan qatorlarda (8.15).
vaznli qatorlarda (8.15a).
Bu formulalar yordamida topilgan dispersiya logarifmini antilogarifmlash natijasida dispersiyaning natural qiyati olinadi, undan esa kvadratik o‘rtacha tafovut hosil qilish qiyin emas.


8.12. Asimmetriya ko‘rsatkichlari

Asimmetriya - grekcha «asymmetria» - o‘zaro o‘lchamsiz so‘zidan olingan bo‘lib, o‘zaro o‘lchamlik buzilishi yoki yo‘q bo‘lishi degan lug‘aviy mazmunga ega. Asimmetrik taqsimot u yoki bu yoqqa og‘ishma, qiyshaygan shaklda to‘plam birliklarining taqsimlanishidir.

Taqsimot asimmmetriyasi me’yorini, ya’ni uning nosimmetrik darajasini qanday o‘lchash mumkin degan savol tug‘iladi.
Ma’lumki, taqsimot ordinatasida moda arifmetik o‘rtacha miqdor nuqtasidan u yoki bu tomondagi nuqta bilan ifodalanadi. Demak, moda bilan arifmetik o‘rtacha orasidagi farqdan taqsimot assimmetriyasining darajasini o‘lchashda foydalanish mumkin. Lekin ayirmaning berilgan qiymatida dispersiya katta bo‘lsa assimmetriya ko‘zga ilinar-ilinmas tashlanadi ya’ni og‘ishma daraja kichik bo‘ladi, aksincha dispersiya kichik bo‘lsa nosimmetriklik yaqqol ko‘rinadi, uning darajasi katta bo‘ladi. Shuning uchun asimmetriya me’yori qilib arifmetik o‘rtacha bilan moda orasidagi farqni emas, balki bu ayirmaning kvadratik o‘rtacha tafovutga nisbatini olish mumkin, ya’ni


(8.16)
Bu ko‘rsatkichni mashxur ingliz statistigi K.Pirson taklif etgan, shuning uchun Pirson koeffitsiyenti deb ataladi. Muayyan sharoitda bu ko‘rsatkich noldan katta bo‘lsa a0, u holda asimmetriya musbat xisoblanadi, aks xolda (a0), u manfiy deb hisoblanadi. Agarda to‘plam birliklari qator o‘rtachasidan chaproqdagi guruhlarda ko‘proq to‘plangan bo‘lsa, koeffitsiyent manfiy ishoraga ega bo‘ladi, taqsimot ham chap yoqqa og‘ishgan bo‘ladi, va aksincha, ular o‘rtachadan o‘ng tomondagi guruhlarda ko‘proq to‘plangan bo‘lsa, Pirson koeffitsiyenti musbat ishora oladi, taqsimot ham o‘ng yoqlama og‘ishmalikka ega bo‘ladi.
7.1-jadvaldagi ma’lumot asosida Pirson asimmetriya koeffitsiyentini hisoblaylik. Ularga binoan:

Bundan:

Ammo Pirson koeffitsiyenti taqsimot markaziy qismida kuzatiladigan nosimmetriklikka ko‘proq bog‘liqdir. Chetki hadlar orasidagi asimmetriyani u deyarlik hisobga olmaydi.

Asimmetriya me’yori o‘rtacha kub tafovutni kub darajali kvadratik o‘rtacha tafovutga nisbatidan iboratdir

Shuning uchun o‘rtacha kub farqdan asimmetrik me’yorini aniqlashda foydalanish mumkin. Ammo bu holda ham ko‘rsatkichning o‘lchamsiz nisbiy miqdorda ifodalanishini ta’minlash zarur. Shuning uchun taqsimot asimmetriyasining me’yori qilib o‘rtacha kub farqni kub darajali kvadratik o‘rtacha tafovutga nisbati olinadi, ya’ni
(8.17).