Variatsiya ko‘rsatkichlari

8.13. Ekstsess me’yorlari

Ekstsess lotincha «excessus» - og‘ishgan, o‘tkir qiyshaygan, bukur, kuchli bukchaygan va grekcha «xuproc» so‘zidan olingan «kurtosus» - do‘ng, bukur, o‘tkir uchli qiyalik degan lug‘aviy ma’noga ega. Statistikada ekstsess deganda taqsimot shaklining bo‘yiga cho‘ziqligi yoki yassiligi nazarda tutiladi.

Ekstsess-taqsimot bo‘yicha cho‘ziluvchanlik yoki yassilik bo‘lib, uning me’yori to‘rtinchi momentning to‘rtinchi darajali kvadratik o‘rtacha tafovutga nisbatidan iborat.

Ekstsess me’yori bo‘lib to‘rtinchi momentning to‘rtinchi darajali kvadratik o‘rtacha tafovutga nisbati xizmat qiladi, ya’ni

(8.18).
Momentlar tushunchasi mexanikadan olingan bo‘lib, taqsimot qatorini ta’riflovchi muhim ko‘rsatkich (parametr)lar hisoblanadi. To‘plam uchun uch turli momentlar mavjud:

1. 
   oddiy momentlar;
   

1. 
   markaziy momentlar;
   

2. 
   shartli momentlar.
   

Oddiy moment - bu koordinat boshlang‘ich nuqtasiga tegishli momentdir.
Koordinat boshlang‘ich momentiga tegishli momentlar oddiy momentlar deb ataladi. U o‘zgaruvchan belgi qiymatlarini tegishli darajalarga ko‘tarish olingan o‘rtachadir. k-darajali (k=0,1,2,3...) oddiy momentni quyidagi asosida aniqlash mumkin:
(8.19)
-ayrim guruhlardagi birliklar soni;
-o‘zgaruvchan belgi qiymatlari yoki oraliqli variantalarning o‘rtacha qiymatlari.
Demak, nol tartibli oddiy moment birga teng x⁰=1, birinchi tartibli moment arifmetik o‘rtachaga, ikkinchi tartibli moment esa o‘zgaruvchan belgi kvadratlarining o‘rtacha qiymatiga mos keladi va h.k.

Belgi faqat bir birlikda to‘plangan bo‘lsa, variatsiya ko‘rsatkichlari eng katta qiymatga ega.

Markaziy moment - bu k-tartibli momentni arifmetik o‘rtachaga nisbatan qarashdir.
Markaziy moment deb k-tartibli momentni arifmetik o‘rtachaga nisbatan olishga aytiladi.
U quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
(8.20).

20. 
    formulaga asosan, nolinchi tartibli (k=0) markaziy moment birga teng ya’ni teng, birinchi tartibli (k=1)markaziy moment nolga teng, (=0), ikkinchi tartibli markaziy moment (k=2) taqsimot qatorining dispersiyasidir:
    

Oddiy va markaziy momentlar o‘rtasida ma’lum bog‘lanish mavjud. Ikkinchi tartibli markaziy momentlarni Nyuton binomi asosida yoyish yo‘li bilan ularni oddiy momentlar orqali ifodalash mumkin.

Ma’lumki, uchinchi tartibli markaziy momentlar esa oddiy momentlar bilan ifodalanganda, quyidagicha ko‘rinishga ega:

To‘rtinchi tartibli markaziy momentlarni oddiy momentlarga keltirish natijasi quyidagi shaklga ega bo‘ladi:

(8.21)

8.18 Normal taqsimot qatori uchun ekstsess koeffitsiyenti uchga teng, ya’ni k_eks=3. Haqiqiy qator uchun bu koeffitsiyent uchdan kichik bo‘lsa, ya’ni k_haqiqiy3, taqsimot yassi uchli xisoblanadi. O‘z-o‘zidan ravshanki bu o‘zaro nisbat qancha katta bo‘lsa, shunchalik qator uchi o‘tkirlashgan bo‘ladi. Shartli momentlar biror ixtiyoriy nuqtaga (shartli o‘rtachaga) nisbatan aniqlanadi. Hisoblash jarayonini soddalashtirish uchun teng oraliqli variatsion qatorlarda ayrim hadlarni va shartli o‘rtachani oraliq kengligi martaba qisqartirib yuborish tavsiya etiladi. Natijada bilan, « » larni esa « » bilan almashtiriladi, bunda

Agarda asimmetriya va ekstsess ko‘rsatkichlari o‘zining ikki karrali kvadratik o‘rtacha xatosidan katta bo‘lmasa, taqsimotni normal deb hisoblash mumkin, aniqrog‘i haqiqiy taqsimotni normalga o‘xshashligi haqidagi gipotezani inkor qilib bo‘lmaydi. Asimmetriya va ekstsessning kvadratik o‘rtacha xatosi quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi.


(8.22)
(8.23)