Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

72
 
 

2
< x
h

 
.  Within  this,  we  consider  a  motion  of  the  system  under  consideration  in  the  case 
where the lineal-located force which moves with the constant velocity 
V
 acts on its free face plane 
of the plate-layer. Assume that the plane-strain  state in  the plate and the two-dimensional  flow of 
the fluid take place in the 
1 2
Ox x  plane. 
The equations of the plate we take within the scope of the linear theory of elastodynamics, 
i.e., as follows:  
2
2
0
11
12
1
1
11
2
2
1
2
1
,
u
u
x
x
x
t















 
2
2
0
12
22
2
2
11
2
2
1
2
1
.
u
u
x
x
x
t















 
11
1
11
1
22
)
2
,
(

 





 
11
22
22
22
(
2
)
,

 





  
12
12
,
2




 
                                        
1
11
1
u
x




, 
2
22
2
u
x




, 
1
2
12
2
1
1
2
u
u
x
x













.                                          (1) 
Note that in Eq. (1) the conventional notation is used.  
According to [6], we consider the field equations of motion of the Newtonian compressible 
viscous fluid: the density, viscosity constants and pressure of which are denoted by the upper index 
(1). Thus, the linearized Navier-Stokes and other field equations for the fluid are:  
              
2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
0
(
)
0
j
i
i
j
j
i
j
i
v
v
v
p
t
x x
x
x x














 

 
,    
(1)
(1)
0
0
j
j
v
t
x








,          
           


(1)
(1)
(1)
2
ij
ij
ij
T
p
e
  

 


,
1
2
1
2
v
v
x
x







,    
1
2
j
i
ij
j
i
v
v
e
x
x














. 
(1)
2
0
(1)
p
a




 .         (2) 
where 
(1)
0

is  the  fluid  density  before  perturbation.  The  other  notation  used  in  Eq.  (2)  is  also 
conventional.  
Assuming  that 
(1)
11
22
33
(
) 3
p
T
T
T
 


,    we  obtain  that 
(1)
(1)
2
/ 3


 
.  Moreover,  we 
assume that the following boundary and contact conditions are satisfied: 
2
21
0
0
x



,
2
22
0
1
0
(
)
x
P
x
Vt



 

, 
2
2
1
1
x
h
x
h
u
v
t





 ,  
2
2
2
2
x
h
x
h
u
v
t





, 
                                          
2
2
21
21
x
h
x
h
T




, 
2
2
22
22
x
h
x
h
T




 ,                                      (3) 
where 
( )

 is the Dirac delta function.  
This completes the formulation of the problem. For the solution of this problem, we use the 
moving coordinate system 
1
1
'
x
x
Vt
 
, 
2
2
'
x
x

 (below we will omit the upper prime on the new 
moving  coordinates)  and  replacing  the  derivatives 
( ) t
  
 and 
2
2
( )
t
  
 with 
1
V
x
  
 and 
2
2
2
1
V
x
 
,  respectively,  we  obtain  the  corresponding  equations  and  boundary  and  contact 
conditions  for  the  sought  values  in  the  moving  coordinate  system.  For  the  solution  to  these 
equations, we employ the exponential Fourier transformation with respect to the 
1
x  coordinate 
 
 
 
 
        
1
2
1
2
1
( ,
)
( ,
)
isx
F
f
s x
f x x e
dx





 
. 
 
                    
(4) 

---