Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

73
 
 
Before  the  employing  the  Fourier  transformation  (4)  we  introduce  the  dimensionless  coordinates 
and dimensionless transformation parameter 
                                                      
1
1
x
x h

, 
2
2
x
x
h

, 
s
sh

.                                                 (5)  
Below we will omit the over-bar on the symbols in (5). Moreover, we will also use the notation  
                                                     
'
V
V h

, 
(1)
(1)
(1)
0




 .                                                     (6) 
For reducing the volume of the paper we do not  give here the other details  of the solution 
procedure, which are similar to those given in the papers [1, 2]. Nevertheless, we recall that under  
the mentioned solution procedure the dimensionless parameters  
     
1
0
'
V h
a


 ,  
2
2
(1)
'
w
V h
N


,  
(1)
V
M
h



         
                    (7)   
are  introduced.    Note  that  the  dimensionless  number 
w
N  in  (7)  can  be  taken  as  a  Womersley 
number  and  characterizes  the  influence  of  the  fluid  viscosity  on  the  mechanical  behavior  of  the 
system under consideration. However, the dimensionless  frequency 
1

 in  (7) can be taken as the 
parameter  through  which  the  influence  of  the  compressibility  of  the  fluid  on  the  mechanical 
behavior of the system  under consideration can be characterized. At the same time, the parameter 
M characterizes the ratio of the characteristic stress caused by fluid viscosity to the shear modulus 
of the plate material.   
 
Thus,  within  the  scope  of  the  solution  procedure  discussed  in  the  papers  [1,  2],  we  obtain 
analytical  expression  of  the  sought  quantities,  after  which  we  determine  the  originals  of  those 
through the expression 



1
2
11
12
22
1
2
11
12
22
1
2
11
1
;
;
;
;
; ;
;
;
;
Re
;
;
;
2
F
F
F
u u
v v T
T
T
u
u







  


   
                                          

1
12
22
1
2
11
12
22
;
;
;
;
;
;
isx
F
F
F
F
F
F
F
v
v
T
T
T
e
ds




.                                    (8) 
The integrals  in  (8) are calculated numerically for which the infinite interval 
[
,
]
 
 is  replaced 
with the finite one 
*
*
1
1
[
,
]
S
S


. The values of the 
*
1
S
 are determined from the convergence criterion 
of these integrals in (8). Under calculation of the integrals in (8), the interval 
*
*
1
1
[
,
]
S
S


 is divided 
into a certain number of sorter intervals. Let us denote this number through 
2N
. Consequently, the 
length  of  the  mentioned  shorter  intervals  is 
*
1
S
N
 and  in  each  of  these  shorter  intervals  the 
integration  is  made  by  the  use  of  the  Gauss  integration  algorithm  with  the  sample  points. 
Consequently, convergence of the mentioned numerical integration can be estimated with respect to 
the values of 
*
1
S
 and 
N
. The various testing of the convergence of the numerical results show that 
for the quite converge and validate results are obtained in the case where 
2000
N

 and 
*
1
5.0
S

. 
We  do  not  here  consider  examples  of  the  numerical  results  illustrated  this  convergence,  however 
note that such examples are given in the paper [1]. 
 
This completes the consideration of the solution method. 
 
3.
 
Numerical results and discussions  
It follows from the foregoing discussions that the problem under consideration is characterized 
through the dimensionless  parameters 
1

,
w
N  and 
M which are determined by the  expressions in 

---

74
 
 
(7), 
 
 where 

 and 

 are  the  mechanical  constants  which  enter  the  expression  of  the  elastic 
relations  in  Eq.  (1).  Note  that  the  case  where 
1
0


 corresponds  to  the  case  where  the  fluid  is 
incompressible, but the case where 1
0
w
N

 corresponds to the case where the fluid is inviscid.  
In  the  numerical  investigation  we  assume  that  the  material  of  the  plate-layer  is  Steel  with 
mechanical  constants: 
9
79 10 Pa



, 
9
94.4 10 Pa



 and  density 
3
1160 kg m


 [7],  but  the 
material  of  the  fluid  is  Glycerin  with  viscosity  coefficient 
(1)
1,393
(
)
kg m s



,  density  
(1)
3
0
1260 kg m


and sound speed 
0
1459.5
a
m s

 [6]. We also introduce the notation 
2
c
 

 
which is the shear wave propagation velocity in the layer material.  
 
Fig.1. Distribution of the 
22
0
/
T h P
 with respect to the 
1
x h
 
Thus, after selection of these materials, the foregoing dimensionless parameters can be determined 
through the two quantities: 
h
 (the thickness of the plate-layer) and 
V
 (the velocity of the external moving 
load).  Numerical  results  which  will  be  discussed  below  relate  to  the  normal  stress  acting  on  the  interface 
plane  between  the  fluid  and  plate-layer  and  to  the  velocities  of  the  fluid  (or  of  the  plate-layer)  on  the 
mentioned interface plane in the directions of the 
1
Ox
 and 
2
Ox
 axes.  
 
Fig. 2. The distribution of the  
2
0 2
/ (
)
v
h
P c

 with respect of the 
1
x h
 

---