1 Ədədi ardıcıllıq və onun verilmə üsulları

14) Cəbri cəmin,hasilin və nisbətin törəməsi
Tutaq ki, u=f(x) və v= ф((x) funksiyalarının x nöqtəsində törəmələri var.
x nöqtəsində sonlu törəməsi olan iki funksiyanın cəbri cəminin də həmin nöqtədə törəməsi var və onların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.
Tutaq ki, u(x) və v(x) sonlu törəmələri olan funksiyalardır. Onda,y=u±v funksiyasında x arqumentinə ∆x artımını versək,
∆y=((u+∆u)±(v+∆v)-(u+v))=∆u±∆v
olar. Bu bərabərliyinin hər iki tərəfini ∆x-ə bölsək,
a
larıq. Burada ∆x—›0 şərtini nəzərə alaraq limitə keçsək
y=(u±v)=u±v
Qeyd edək ki, bu qayda sonlu sayda törəməsi olan funksiyaların cəbri cəmi üçün də doğrudur.
x nöqtəsində sonlu törəməsi olan u(x) və v(x) funksiyalarının y=uv hasilinin də həmin nöqtədə törəməsi var və
y=(uv)'=u’v+uv’
d
üsturu ilə hesablanar.


15)Mürəkkəb və tərs funksiyanın törəməsi

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Teorem. funksiyası t₀ nöqtəsində və funksiyası uyğun nöqtəsində diferensiallanan olduqda mürəkkəb funksiyası t₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi
düsturu ilə hesablanır.


İsbatı. Sərbəst dəyişənin müəyyən bir x qiymətində u = φ(x) və y = F(u) və onun x + ∆x qiymətində isə

u + ∆u = φ(x + ∆x), y + ∆y = F(u + ∆u)
olar. Beləliklə, ∆x artıma ∆u, ∆F-ə isə ∆y artımı uyğundur; bundan başqa ∆x şərtində, ∆u olduqda isə ∆y .
Şərtə görə, törəməsi vardır:

.
Funksiya limitinin xassəsinə görə, bu münasibətdən

(1)
alınır. Burada şərtinə görə (1) bərabərliyini

(2)
şəklində yazmaq olar. Bu bərabərliyinin hər tərəfini ∆x atrımına bölək:

. (3)
Şərtə əsasən

, . (4)
Üçüncü bərabərliyində şəklində limitə keçərək:

. (5)

funksiyası x=x₀ nöqtəsində diferensiallanandırsa və olarsa onda onun tərs funksiyası uyğun y₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi

(1)
düsturu ilə hesablanır.

İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, tərs funksiyanın tərifinə əsasən:

.
Onda tərs funksiya üçün:

bərabərliyini yazmaq olar.

Tərs funksiya kəsilməz olduğundan şərtində olur. Buna görə də:

(2)
Bu düsuru

(3)
şəklindədə yazmaq olar.