1 Ədədi ardıcıllıq və onun verilmə üsulları

Misal Ardıcıllıqların monoton artan ardıcıllığını göstərin.

1) ;

olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

.

olduğundan, buradan alırıq ki, istənilən n üçün . Yəni baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

2) ;
Göründüyü kimi,

. Onda, .

olduğundan, və deməli, , yaxud . Yəni ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

3) ;

və olduğunu nəzərə alsaq yaza bilərik:

Digər tərəfdən, Bernulli bərabərsizliyində (bax § 1.2, Misal 11) götürsək,

.
Bu qiymətləndirməni yuxarıda nəzərə alaq. Onda

olduğundan, alırıq ki, ixtiyari üçün . Deməli, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

4) ;

fərqini qiymətləndirək. olduğundan, və ya istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq monoton artandır.

5) ; ;
Əvvəlcə, induksiyaya əsaslanaraq göstərək ki, .

olduqda . olduqda olduğunu fərz edək.

Buradan, və hər tərəfə 2 əlavə etsək, . Deməli, Bu isə onu göstərir ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. İndi isə ardıcıllığın monotonluğunu göstərək. Verilənləri və ardıcıllığın hədlərinin vahiddən kiçik olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

, yəni bütün n-lər üçün . Başqa sözlə, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

Bu ardıcıllığın monoton artan olduğunu başqa cür də müəyyən etmək olar. Belə ki, induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 4) ardıcıllığının ümumi həddi şəklindədir, bu isə artan ardıcıllıqdır.


5)Funksiyanın nöqtədə və sonsuzluqda limitinin tərifi
X çöxluğunun a-ya yığılan istənilən nöqtələri ardıcılığına ƒ(x) funksiyasının uyğun olan qiymətləri ardıcıllığının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda , həmin A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.
Aydındır ki, a-ya yığılan heç olmazsa iki ardıcıllığına funksiyasının və uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa, onda funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur. Funksiyanın nöqtədə limitinin başqa tərifi də vardır.

Tərif 2. Tutaq ki, sonlu a və A ədədləri və istənilən ədədi üçün elə ədədi varki, x-in X çoxluğundan götürülmüş və (1) bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2) münasibəti ödənilir.Onda A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.
Qeyid edək ki, A ədədi x→a şərtində funksiyasının limiti olduqda (2) bərabərsizliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi qiymətinə bərabər olada bilər, olmayada bilər.
Funksiya limitinin birinci tərifinə “ limitin ardıcıllıq dilində tərifi ” (və ya Heyns mənada tərifi) , ikinci tərifinə isə
“ limitin dilində tərifi ”(və ya Koşi mənada tərifi ) deyilir.