2-ma-ruza pdf

Kurs ishining tuzilishi.
Kurs ishi Kirish, asosiy qism 2 ta bob, bu 2 ta
bobimiz kichkina 2 ta mavzuchalardan, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan
tashkil topgan.
I.
Bob. Matematik tushunchalar
I.1.
Rost va Yolg‘on mulohazalar, kvantorlar
Matematika, barcha fanlar qatori, butun borliqda yuz beradigan barcha
jarayonlami o‘rganadi. Bundan, sodir boiadigan bu jarayonlami matematik ifodasi
mavjud, degan xulosa kelib chiqishi tabiiy. Masalan, talabalarning o‘zlashtirish
darajasi, samolyotning parvozi, talabaning harakati, havo harorati va turli iqtisodiy
masalalar maxsus tenglamalar orqali o‘rganiladi. Ayniqsa, narsalarning rangi,
og‘irligi va zichligi qanday bo‘lishidan qat'i nazar, ularning geometrik xossalarini
matematikaning bo‘Iimi bo‘lgan geometriya fani tekshiradi va o‘rgatadi.
Tushuncha — bu predmetlar va hodisalarni ba'zi bir muhim alomatlariga ko‘ra
farqlash yoki umumiylashtirish natijasidir. Masalan, «son», «miqdor», «kesma»,
«to‘g‘ri chiziq» vahokazo. Alomat (belgi) esa predmet yoki hodisalarning bir-
biriga o‘xshashligi, tengligi yoki farqlanishini bildiruvchi xossalardir. Masalan,
uchburchakning teng yonli bo‘lishlik belgisini quyidagicha ifodalash mumkin:
«Agar uchburchak asosining uchlaridan o‘tkazilgan medianalar o‘zaro teng bo‘lsa,
bu uchburchak teng yonli bo‘Iadi». Predmetlar deganda obyektlar nazarda tutiladi.
Odatda, obyektlar ma’lum muhim va muhim bo‘lmagan xossalarga ega. Muhim
4

---

xossa deb, faqat shu obyektga tegishli va bu xossasiz obyekt mavjud bo‘la
olmaydigan xossalarga aytiladi. Masalan, ixtiyoriy uchburchak uchun
«uchburchakning o‘rta chizig‘i asosiga parallel va uning yarmiga teng» xossasi
muhim xossa hisoblanadi. Obyektning mavjudligiga ta’sir qilmaydigan xossalar
muhim bo‘lmagan xossalar hisoblanadi. Masalan, 2 • x = 4 tenglama uchun
«tenglikning har ikkala tomonini bir xil songa bo‘lsak, natija o‘zgarmaydi»
deyilgan xossa muhim bo‘lmagan xossa hisoblanadi.
Obyektning nimani anglatishini bilish uchun uning xossalari mavjud bo‘lsa, u
holda bu obyekt haqida «tushuncha mavjud» deyiladi. Tushuncha nomlanadi,
shuningdek mazmun va hajmga ega bo‘ladi. Obyektning barcha muhim xossalari
birgalikda tushunchaning mazmunini tashkil qiladi. Bir xil muhim xossalarga ega
boigan obyektlar to‘plami tushuncha hajmini tashkil etadi. Demak, tushuncha
hajmi bitta tushuncha bilan nomlanishi mumkin boigan obyektlar to‘plami ham
ekan. Masalan, «uchburchak» tushunchasi «to‘g‘ri burchakli uchburchak»
tushunchasi uchun umumiy, «to‘g‘ri burchakli uchburchak» tushunchasi esa
«uchburchak» tushunchasining xususiy holidir. Tushunchalar insoniyat to‘plagan
katta tajribani umumlashtirish natijasida yuzaga keladi va moddiy dunyoning tub
mohiyatini aks ettiradi, lekin real obyektlarning ko‘pgina xossalaridan ko‘z
yumgan holda, ularni ideallashtirish natijasida hosil bo‘ladi. Obyektni bilish uchun
yetarli bo‘lgan xossalarini ko‘rsatish tushunchaga ta'rif berish deyiladi. 1- misol.
Kvadratning ta’rifini tahlil qilling. Yechish . «Hamma tomonlari teng bo‘lgan
to‘g‘ri to‘rtburchak kvadrat deyiladi». Dastlab kvadrat chiziladi, keyin to‘g‘ri
to‘rtburchak bo‘lishlik, hamma tomonlari teng bo‘lishlik xossalarini o‘z ichiga
oluvchi tushuncha kiritiladi. Kvadratning ta'rifidan uni to‘g‘ri to‘rtburchakning
xususiy holi ekanligi ko‘rinib turibdi. Bundan kvadrat va to‘g‘ri to‘rtburchakning
bir xil jinsli tushuncha ekanligi kelib chiqadi. Sodda va murakkab mulohazalar
bilan tanishaylik. Inson tabiatni idrok qiladi, shuningdek, obyektlar o‘rtasida turli
bog‘lanishlar o‘matadi. Bu bog‘lanishlar tushunchalar yordamida mulohazalar
orqali ifodalanadi. Masalan, «To‘g‘ri to‘rtburchakda barcha burchaklar teng», «36
soni uchga bo‘linadi», «Yomg‘ir yog‘ayapti», «O‘zbekiston 1991-yil sentabr
5

---

oyining birinchi kunida mustaqillikka erishdi», «2003- yil — Obod mahalla yili»,
«2004- yil — Mehr-muruvvat yili», «2009-yil — Qishloq taraqqiyoti va
farovonligi yili». Har bir mulohaza mazmuni va mantiqiy tuzilishi bilan
xarakterlanadi. Matematikada sodda va murakkab mulohazalar o‘rganiladi.
Masalan: «36 soni 3 ga bo‘linadi» mulohazasi sodda. Murakkab mulohazalarga 21
soni toq va 7 ga bo‘linadi yoki a soni 3 ga teng yoki katta, yoki Kadrlar tayyorlash
milliy dasturining ikkinchi bosqichi sifat bosqichidir va hokazolarni misol keltirsa
bo‘ladi.
Murakkab mulohazalar «va», «yoki» so‘zlari orqali oddiy mulohazalar
yordamida tuziladi. Bu so‘zlar matematikada mantiqiy bog‘lanish deyiladi. 2-
misol. Akbar matematikadan uy vazifasini bajarmagan va darsda 2 baho oldi.
Mulohazani mantiqiy tuzilishini aniqlang. Y e c h i s h. Bu mulohaza 2 ta sodda
mulohazadan tuzilgan: A mulohaza «Akbar uy vazifasini bajarmagan» va B
mulohaza «darsda 2 baho oldi». Ular bitta murakkab mulohazada va bog‘lovchisi
yordamida tuzilgan. Buni qisqacha «A va B» deb yoziladi, lekin «B va A»
mulohaza har doim ham o‘rinli emas.
Rost yoki yolg‘on mazmundagi gaplar mulohazalar deyiladi. Masalan,
«0‘zbekistonning poytaxti Toshkent», «4 soni juft» mazmundagi gaplar rost
mulohazalarga, «Pedagogika kollejini tugatgan talabalarga hamshira mutaxassisligi
beriladi», — degan gap esa yolg‘on mulohazaga misol bo‘la oladi. Umuman har
bir mulohaza ikkita qiymatga ega bo‘lishi mumkin: rost (1) va yolg‘on (0). Agar A
va B mulohazalaming ikkalasi ham rost bo‘lsa, u holda «A va B» ko‘rinishidagi
mulohazalar rost bo‘ladi. Agar ulardan birortasi yolg‘on bo‘lsa, unda «A va B»
mulohaza yolg‘on bo‘ladi. 1- misol. 12 soni juft va 5 ga bo‘linadi. Mulohazaning
rost yoki yolg‘onligini aniqlang. Y e c h is h . Mulohaza «A va B» ko‘rinishdagi
mulohaza bo‘lib, A — «12 soni juft», B — esa «12 soni 5 ga bo‘linadi». Ko‘rinib
turibdiki, A mulohaza rost, B mulohaza esa yolg‘on (chunki 12 soni 5 ga
bo‘linmaydi). Bundan berilgan mulohazani yolg‘onligi kelib chiqadi.
2- misol. 6 kichik yoki teng 11 mulohazasi rost bo‘lishi mumkinmi? Y e c h i s
h. Bu murakkab mulohaza «A yoki B» ko‘rinishga ega bo‘lib, A — «6 kichik 11»,
6

---

B — «6 teng 11». Ko‘rinib turibdiki, A — mulohaza rost, B — mulohaza esa
yolg‘on. Bundan berilgan mulohazaning rostligi kelib chiqadi. Demak, A va B
mulohazalardan birortasi rost bo‘lsa, «A yoki B» mulohaza rost bo‘ladi. 3- misol. 7
kichikyokiteng 5 mulohaza rost bo‘lishi mumkinmi? Y e c h i s h. Bu «A yoki B»
mulohaza bo‘lib, A — «7 kichik 5», B — esa «7 teng 5». Ko‘rinib turibdiki, A
mulohaza yolg‘on, B mulohaza ham yolg‘on. Unda berilgan mulohazaning
yolg‘onligi kelib chiqadi. Demak, agar A va B mulohazalarning har ikkalasi
yolg‘on bo‘lsa, «A yoki B» mulohaza yolg‘on bo‘ladi. 4- misol. «14 tub son».
Gapni izohlang. Yechish : Bu yolg‘on mulohaza, chunki 14 soni faqatgina 1 soniga
bo‘linmasdan, balki 2, 7 yoki 14 sonlariga ham bo‘linadi. Bu mulohazaning
inkorini «14 ni tub son, deyish noto‘g‘ri». Rost mulohaza hosil bo‘ldi. Shunday
qilib, «14 tub son» mulohazasining inkorini «14 tub son emas» deb yozish
mumkin. Bu ham rost mulohaza bo‘ladi. Odatda, A mulohazaning inkorini A deb
belgilash qabul qilingan va «A emas» deb o‘qiladi. Umuman, agar A rost bo‘lsa,
yolg‘on va A yolg‘on bo‘lsa, rost bo‘ladigan mulohaza A mulohazaning inkori
deyiladi. 
Agar 1-jumladan «barcha» so‘zini olib tashlansa, «sonlar bir xonali sonlardir»,
— degan jumla hosil bo‘ladi. «Bu jumla chinmi yoki yolg‘onmi?» savoli ma'noga
ega emas. Demak, qatnashayotgan «barcha» so‘zi uni mulohazaga aylantiradi. 2-
jumla ham shunga o‘xshash tuzilgan, faqat «sonlar juft sonlaridir» «ba’zi» so‘zi
mulohazaga aylantiradi. «Barcha» va «ba’zi» so‘zlari kvantorlar deyiladi.
«Kvantor» so‘zi lotincha bo‘lib, «qancha» degan ma’noni bildiradi. Bundan
tashqari, «ixtiyoriy», «harqanday», «harbir», «barcha (hamma)» umumiylik
kvantorlari va «mavjud», «ba’zi», «topiladi», «aqalli bitta» kvantorlari mavjud.
Ko‘pgina matematik jumlalar kvantorli fikr shakliga ega, masalan: barcha
kvadratlar to‘g‘ri to‘rtburchaklardir, ba’zi juft sonlar 4 ga bo‘linadi, ixtiyoriy
to‘g‘ri to‘rtburchakda ichki burchaklar yig‘indisi 360° ga teng. Ko‘p hollarda
fikrlardagi kvantorlar tushirib qoldiriladi. Masalan, sonlarni qo‘shishning o‘rin
almashtirish qonuni a + b = b + a tenglik ko‘rinishida yoziladi. Ixtiyoriy a va b
sonlar uchun a + b — b + a tenglikning o‘rinli ekanligini, ya’ni qo‘shishning o‘rin
7

---

almashtirish qonuni umumiylik kvantorlari qatnashgan fikr ekanini bildiradi. 5-
misol. Ixtiyoriy 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sonlar x + 2 > x tengsizlikning yechimi
bo‘ladi. Bu fikrlar rostmi yoki yolg‘onmi? Ye c h i s h. Ixtiyoriy 0, 1, 2, ..., 9
sonlar x + 2 > x tengsizlikning yechimi bo‘lishiga ishonch hosil qilish uchun
quyidagi hollar ko‘rib chiqiladi: x=0 da 0 + 2>0 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost.
x = 1 da 1 + 2 > 1 bo‘ladi, ya'ni sonli tengsizlik rost. x=2 da 2 + 2>2 bo‘ladi, ya’ni
sonli tengsizlik rost. x=9 da 9 + 2>9 bo‘ladi, ya’ni sonli tengsizlik rost. Haqiqatan
ham, 0, 1, 2, ..., 9 sonlardan biri x + 2 > x tengsizlikning yechimi bo‘ladi, ya’ni
«ixtiyoriy 0, 1, 2, .... 9 sonlar x + 2 > x tengsizlikning yechimi bo‘ladi» degan fikr
rost. Biz buni qanday aniqladik? Barcha xususiy va mumkin bo‘lgan hollarni qarab
chiqish bilan isbotladik. Isbotlanishning foydalangan usuli to‘la induksiya deb
ataladi.
6- misol. Ketma-ket keluvchi ixtiyoriy uchta natural sonning yig‘indisi 3 ga
bo‘linadi. Bu fikr rostmi yoki yolg‘onmi? Y e c h i s h. Isbotlashning birinchi
jumla uchun qo‘llanilgan usulini bu yerda qo‘llab bo‘lmaydi, chunki barcha
hollarni ko‘rib chiqish imkoniga ega emasmiz. Ketma-ket keluvchi natural sonlar
x, x + 1, x +2 lar orqali belgilanadi va ixtiyoriy x da x + (x + 1) + (x + 2) yig‘indi 3
ga bo‘linishi isbotlanadi. x + (x + l) + (x+2) ifodani x + x + + l + x+ 2 = 3x+3 =
3(x + l) ko‘rinishida yozish mumkin. 3 soni 3 ga bo‘lingani uchun ko‘paytma ham
3 ga bo‘linadi. Demak, ketma-ket keluvchi ixtiyoriy uchta natural sonning
yig‘indisi ham 3 ga bo‘linadi 7- misol. Ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchak kvadratdir.
Berilgan fikr qanday tuzilgan? Y e c h i s h. Bu yolg‘on fikr. Bunga ishonch hosil
qilish uchun kvadrat bo‘lmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchak chizish yetarli. Umuman,
umumiylik kvantori qatnashgan fikrlarning rostligini isbotlash yo‘li bilan
aniqlanadi. 3 ga karrali natural sonlar mavjud va to‘g‘ri burchakli teng tomonli
uchburchaklar mavjud, degan mulohazalarni qaraylik. Birinchi flkr rost. Bu
xulosani asoslash uchun misol keltirish yetarli. Masalan, 9 natural son va u 3 ga
bo‘linadi. Ikkinchi fikr yolg‘on. Haqiqatan ham, to‘g‘ri burchakli uchburchakning
bir burchagi 90° bo‘lishi kerak, teng tomonli uchburchakning hamma burchaklari
8

---

kattaliklari 60° ga teng. Demak, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar orasida teng
tomonli uchburchaklar yo‘q.
Berilgan mulohazaning inkori quyidagicha tuziladi (yasaladi). «Barcha natural
sonlarning 3 ga bo‘linishi yolg‘on». Bu mulohaza rost va u mazmuniga ko‘ra «3 ga
bo‘linmaydigan natural sonlar mavjud» degan mulohaza bilan bir xil. Shunday
qilib, «barcha natural sonlar 3 ga bo‘linadi» mulohazaning inkorlarini ikki usul
bilan tuzish mumkin ekan: 1) berilgan jumlaning oxiriga «bo‘lishi (ekani) yolg‘on»
so‘zini qo‘shish bilan; 2) umumiylik kvantorlarini mavjudlik kvantorlariga
almashtirish hamda kvantordan keyin keluvchi so‘zni inkoriga aylantirish bilan.
«Barcha natural sonlar 3 ga bo‘linmaydi» jumladan «barcha natural sonlar 3 ga
bo‘linadi» jumlaning inkori emas, chunki bu jumla ham berilgan jumla kabi
yolg‘on mulohaza bo‘ladi. 8- misol. «Ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi»
mulohazasining inkorini tuzing. Y e c h is h . «Ba’zi toq sonlar 4 ga bo‘linadi». Bu
yolg‘on mulohaza. Barcha toq sonlar ikkiga bo‘linmaydi va, demak, 4 ga ham
bo‘linmaydi. Berilgan mulohazaning inkori: «ba’zi toq sonlarning 4 ga bo‘linishi
yolg‘on». Bu rost mulohaza va mazmuniga ko‘ra «barcha toq sonlar 4 ga
bo‘linmaydi» mulohaza mazmuniga mos keladi. Shunday qilib, «ba’zi toq sonlar 4
ga bo‘linadi» mulohazasining inkorini ikki usul bilan tuzish mumkin: 1) berilgan
jumlaning oxiriga «ekani (bo‘lish) yolg‘on» so‘zini qo‘shish bilan; 2) mavjudlik
kvantorini umumiylik kvantoriga almashtirish hamda kvantordan keyin keluvchi
jumlani uning inkoriga almashtirish bilan. Kvantorli (umumiylik yoki mavjudlik)
fikrning inkori ikki xil usul bilan yasalishi mumkin: 1) berilgan fikrning oxiriga
«ekani (bo‘lishi) yolg‘on» so‘zlarini qo‘shish bilan; 2) umumiylik (mavjudlik)
kvantorlarini mavjudlik (umumiylik) kvantorlariga almashtirish hamda kvantordan
keyin keluvchi jumlani uning inkoriga almashtirish bilan. Keltirilgan bu qoida
kvantorli mulohazaning inkorini to‘g‘ri yasash uchun yetarli. Berilgan
mulohazaning inkori yana boshqa shaklda ham yasalishi mumkin. Bunda faqat
ushbu talabga rioya qilish muhim: agar berilgan mulohaza yolg‘on bo‘lsa, u holda
uning inkori rost mulohaza bo‘lishi kerak va aksincha.