hər
hansı
həqiqi
ədədlər
{г,}с(-я;я-);
{Д.}сЯ
-
çoxluğudur.
işdə (1) sisteminin L
2
Helbert fəzasında Riss bazisliyinə
baxılmışdır. Bu məsələ
\ —j L = t ( x ) e
[
у
127Г
■ j o o
t/LX
şəklində eksponentlər
sisteminə nəzərən V.F.Qapoşkinin [1] və K.İ.Babenkonun [2]
işlərində tədqiq olunmuşdur.
Tutaq ki,
A ±(t)
və co(t) funksiyaları aşağıdakı şərtləri
ödəyirlər:
1)
oc
1
{ t ) л \ щ -
parçasında hissə-hissə Holder
funksiyalarıdır, {$.}[- isə
Ə(t)
=
a ~ ( t ) - a +(t)
flmksiyasının (-
л;тс) intervalında kəsilmə nöqtələri çoxluğudur.
2) |
а
* (/)|-
( ~ я \ л )
intervalında ölçülən funksiyalardır,
həmçinin aşağıdakı şərti ödəyirlər:
sup
vraı\A(t)
±1
A-(O
±1
'< M <
+ 0 0
.
3) [r.}[ və {s,}j çoxluqları kəsişmirlər, yəni
{Д.}[- ilə Ə(t) funksiyasının
s i
/ = (1, r)
nöqtələrində
sıçrayışlarını işarə edək, yəni
hi
=
6
{si
-I- 0) -
6
{st
- 0),
i = \ , r
Aşağıdakı teorem doğrudur.
Teorem. Fərz edək ki,
A h(t)
və 03(t) funksiyaları l)-3)
şərtlərini ödəyirlər. Onda
-
л < hk < л ,
к
= 1,
r
+1
587
şərtləri ödənildikdə (1) sistemi L
2
fəzasında onda və yalnız onda
Riss bazisi təşkil edər ki,
/3İ =
0
(i = l,£) olsun. Burada
Лг+
1
=
+ 0) -
0
( n -
0).
ш
isbatı. Əvvəlcə aşağıdakı eksponentlər sisteminə baxaq:
{A+(/)-eira;
A - ( 0 ^ 'L , „
(3)
Teoremin şərtlərindən və B.T.Bilalovun [3] işindən alırıq ki, (3)
sistemi L
2
fəzasında Riss bazisi təşkil edir.
(Oj#läo*ä] "
ilə (3) sisteminə biortoqonal sistemi işarə edək, yəni
-7 1
71
_________
J
a
W
' - e ; „ m = o,
— ft
) А - < & * - ё Ю Л = 6 ш .
I А-(
1
)е-ы ■ е*т№ = о
- л
Burada,
8
пт
- Kroneker simvoludur.
[3] - işindən almır ki,
e„ (t)
funksiyaları
r i
(i
= 1, f)
nöqtələrinin kafi kiçik ətrafında hər yerdə |e;; (r)| >
8
>
0 şərtini
ödəyirlər. Buna görə də (1) sistemi L
2
fəzasmda minimaldır və
ona biortoqonal sistem aşağıdakı şəkildədir:
H *A t)
s
< { t )
n >
Cı;
н . - (
0
- е* т
k >
I
co(t)
'
co(t)
w
* • f »
^
I
2 > • %
İndi əvvəlcə fərz edək ki, ioe {1,...,^ }nömrəsi var ki,
P- >
0 olur. Onda L
2
fəzasında /(t) funksiyası var ki, onun üçün
Ж
co(t)
nisbəti L
2
fəzasına daxil deyildir. (3) sisteminə görə
388
/ > /
ч
F ( t ) =
-—— funksiyasının biortoqonal əmsallarını
{ a *
;
a~k
}
>0
CD(l)
' ’ ~
- ilə işarə edək.
Onda (3) sisteminin L
2
fəzasında Riss bazisi iyindən
alarıq ki,
sırası dağılandır. Digər tərəfdən
\ a l
j ədədləri / ( t) funksiyasının
(
1
) sisteminə görə biortoqonal əmsallarıdır, yəni
71
71
«£ = |> ( 0
e t № =
f / ( 0
-7 1
-7 1
Beləliklə, nəticədə alırıq ki, bu halda (1) sistemi Bessel
bazisi deyil. Deməli, L
2
fəzasında Riss bazisi də deyildir.
İndi fərz edək ki,
I
"I- 2
a n
+
a
,
n
/i
<
+ 0 0
n
sırası hər hansı {я*;
a~+l
|/ı20
ədədlər ardıcıllığı üçün yığılır.
(3) sistemi L
2
fəzasında Riss bazisi təşkil etdiyindən, L
2
fəzasından elə F(t) funksiyası var ki, onun üçün {
0
,
7
} ədədlər
ardıcıllığı bu funksiyanın (3) sisteminə görə biortoqonal
əmsallarıdır. Yəni .
П
a*
= ]>(/)• e* (0<*
-7Г
J *
F(t)-co(t) hasilini /(t) ilə işarə etsək alarıq:
П
____
<
=
\ f №
- 7 t
\
•
589