Tamamilə aşkardır ki, əgər Vi =
l , £
üçün Д > 0 olarsa,
onda / ( t) funksiyası L
2
fəzasına daxil olar.
H f
= ——
<*>(/)
ifadəsindən çıxır ki, {//;(Г); Я “., (o}„>0 sistemi L
2
fəzasına
daxildir.
Göstərək ki, bu cür funksiya yeganədir. Teoremin
şərtindən çıxır ki, [oj(t)]'1 funksiyası L
2
fəzasına daxildir. Fərz
edək ki, L
2
fəzasına daxil olan başqa /o(t) funksiyası var ki,
П
___________ R
_____________
a ; = \ f ü ( t ) H l m a l =
J
F0 (t ) ■
( t ) dt
- Я
- R
Burada
F 0 ( t )
-
• Aşkardır ki, bu funksiya Lı(-7i,7t)
fəzasına daxildir. (3) sisteminin L
2
fəzasında Riss bazisliyindən
alırıq ki, ona biortoqonal
{е*(0;£Й+1 (0}„>0
sistemi
L
2
fəzasında
tamdır. Nəticədə alırıq ki, bu sistem Lı=Lı(--7t,Tt) fəzasında
tamdır.
Beləliklə alırıq ki,
Я
______
0=
J[F(0
- F„
U
)> ;
Ш и
V«
- R
Bu münasibətdən alırıq ki, F(t)=Fo(t) və / ( t)= /o(t).
Nəticədə alırıq ki, Д. > 0 , Vi
= I J
şərti ödənildikdə (1)
sistemi L
2
fəzasında Hilbert bazisi təşkil edir.
Hər hansı z0 e { l , n ö m r ə s i üçün Д. < 0 halına
baxaq. Onda L
2
fəzasından elə F(t) funksiyası var ki, F(t)-oo(t)
hasili L
2
fəzasına daxil deyildir. Fərz edək ki, {л* } ədədləri F(t)
funksiyasınm (3) sisteminə görə biortoqonal əmsallarıdır:
a ;
= jF(0*
e * ( t ) d t
- R
f '
(3) sisteminin L
2
fəzasında Riss bazisliyindən alırıq ki,
590
2
< +°о
sırası yığılır. F(t)-o)(t) hasilini /(t) ilə işarə etsək, alarıq ki, {a*}
ədədləri bu funksiyanın (1) sisteminə görə biortoqonal
əmsallarıdır:
71'
___________
a* =
Eynilə
{e,KO;e,H.ıO‘)L>ı
sisteminin
Lı
fəzasında
tamlığından və /(t) funksiyasının bu fəzaya daxil olmasından
alırıq ki, bu cür /(t) funksiyası yeganədir. Nəticədə baxdığımız
halda (1) sistemi Hilbert sistemi deyildir və beləliklə, L
2
fəzasında Riss bazisi təşkil etmir.
Fərz edək ki, Д. < О, V /. L
2
fəzasından istənilən /(t)
funksiyasım götürək. Aşkardır ki,
Д О
_
co{t)
=
F { t )
funksiyası L
2
fəzasına daxildir. (3) sisteminin L
2
fəzasında Riss bazisliyindən
alırıq ki,
X
< +
a
/ 1
<
+00
n
Burada, {a;;} ədədləri F(t) funksiyasının (3) sisteminə
görə biortoqonal əmsallarıdır:
;r
a
n
=
- n
Digər tərəfdən {
ö
,1; } ədədləri /(t) funksiyasının (1)
sisteminə görə biortoqonal əmsallarıdır. Bu halda (1) sistemi L
2
fəzasında Bessel bazisi təşkil edir.
Teorem isbat olundu.
Bu teoremdən aşağıdakı nəticələr almır.
Nəticə 1. Fərz edək ki, A^t) və co(t) funksiyaları l)-3)
şərtlərini ödəyirlər və aşağıdakı bərabərsizliklər ödənilir:
591
-7ü< hk< 7t,
к
= 1,
г
+ 1 ,
I Д I < — ,
i = l j
Burada hr+ı=Ə(-Tc+O)-0(Tt-O). (1) sistemi
L ı
fəzasında onda və
ancaq onda Hilbert bazisi təşkil edər ki, Д > О, V/ olsun.
Nəticə 2. Fərz edək ki, teoremin bütün şərtləri ödənilir.
(1) sistemi L
2
fəzasında onda və ancaq onda Besscl bazisi təşkil
edər ki, Д <0,Vi olsun.
Ədəbiyyat:
1. В.Ф.Гапошкин,
Одно обобщение теоремы
М.Рисса о
сопрятенных функциях, Математический сборник, Т.46(88),№3
(1958) 359-372.
2. К.И.Бабенко, О сопряженных функциях, ДАН СССР, Т.62, №2
(1948), 157-160.
3. Б.Т.Билалов, Базисиость некоторых систем экспонент, косинусов
и синусов, Дифференц. Уравнения, Т.26, №1 (1990), 10-16.
*
R Ö V Ş Ə N H Ə S Ə N O V
N a x ç ı v a n D ö v l ə t U niversiteti
BAŞLANĞIC GƏRGİNLİKLİ YARIMMÜSTƏVİ
ÜÇÜN DÖVRİ MƏSƏLƏ
(xüsusi elastiki potensiallar)
[2]-də başlanğıc gərginlikli elastiki yarımmüstəvi üçün
dövri məsələ (bərabər olmayan köklər halı) ümumi şəkildə
həll
edilmişdir.
Təqdim
olunan
işdə xüsusi
elastiki
potensiallar üçün həmin məsələ konkret nəticələr alınmaqla
həll edil mişdiı*.
1.[3,(1.63)] şəklində elastiklik münasibətləri.
Bu münasibətlər fiziki xətti elastiki sıxılan ortotrop
cismə aid edilir, xəttiləş miş elastiklik nəzəriyyəsinin kiçik
başlanğıc deformasiyalar nəzəriyyəsinin ikinci variantına
tədbiq edilir.Burada
jUj
- köklərini təyin etmək üçün tənlik [3,
592
Dostları ilə paylaş: |