/
Onda
M (г) >
exp
e
J
dı
\
\
0
У/ ^
(’)
c o n st
bərabərsizliyi
/
doğrudur. Burada
> 0 hər hansı sabit ədəddir.
(Müəyyən
r
ədədindən başlayaraq
M [ r ) = o o
ola
bilər).
isbatı.
(I) tənliyinə uyğun olan operatoru müntəzəm elliptik
şəklə gətirmək üçün
у n — a ( x
n) əvəzləməsini qəbul edək.
Burada y„
= a ( x
lt) kəsilməz diferensiallanan və monoton
funksiyadır. Onda alarıq:
Эи
Эи
Э х
Э2
и
Э ?
Э и
/ //
\ \ 2
Эи
И * ,,)) +
э>'„
Эл-;
Э у ]
--------
Э
Уи
Bu zaman (1) təıı Ну i aşağıdakı şəklə düşər:
»«-•1
' L aA x h
д
i . H
"
Э
2
u
,/ \ /
,t
\\2
д 2и
Эи
+
4 х „
) • (
ö
'(-v„ ))
+
ə^2
Э y n
Л(хп) - а \ х п)=: (p{x,u)
Л ( х
п) •
( a '( x n
))2 = 1 qəbul edək.
1
x,i
Buradan
a \ x „) = -= = =
va ya a(.v„)= y.„ =
т г й
Axırıncı tənliyi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:
м - 1
Və ya
/ \ Ə “
U
Э и
- /
\ Э U
/,/
\
/
\
L a ij \х ) т ~ г ~ +
t t
+
Ä (x » h
— ‘G t a
)
=
u ) >
ı j i
d x id x j
°Уп
Э
y n
v*
/ \ Ə2
m
Э2и
1
Эи Л \ х п )
/
\
Йй
Ə
Xjdxj
Эуп
2
Эу„^л(ха)
Xj
=
X
,-,
1 < / < / ? - 1,
х н
= yn
qəbul edək.
Onda (3) tənliyini aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:
605
X'1 ~ /~\
1
^
(^л )
\
«-.7=1
-
)
* := U »........ -Vi > У. )
(
4
)
Beləliklə, biz уя =д(л:и) əvəzləməsini aparmaqla (1)
tənliyini (4) şəklində müntəzəm elliptik tənliyə gətirmiş
oluruq. Bizə məlumdur ki, (4) şəklində tənlik üçün
maksimum prinsipi və böyümə haqqında lemmamn hökmü
doğrudur. Aşağıdakı hallara baxaq.
a) Tutaq ki,
x n -
j
dÇ
i
Ш
)
inteqralı dağılır.
Bu halda baxılan inteqralın dağılan olması üçün
Л(£) < ç
2
• İn2 £
və
x n
—> +•*>
şərtində
x n
=
a ( x
n) —> +<*>
münasibətlərinin ödənməsi kafidir.
•v« j t
b) Tutaq ki,
x a = a { x n) = \ ~ r S ^
inteqralı yığılır.
Bu halda
x n
—» +°° şərtində
x n
—>
A <
«> olur. Baxılan
inteqralın
yığılan
olması
üçün,
məsələn,
7 ( 0 >(ä
l l n a 4 \ a
> 1 şərtinin ödənməsi kafidir. Qeyd edək
ki, teoremin isbat prosesi
x n
kəmiyyətinin sonlu və sonsuz
qiymət almasından asılı deyildir. Mərkəzləri
x
0
e
C n { l (l = O}
nöqtəsində yerləşən və radiusları uyğun olaraq 8$jq(r0) və
n
1/2
и -1
V 1=1
M ( ro). '
0
= Z W 2
olan
B * M
və B £ ( , kürələrinə
/
baxaq. Onda maksimum prinsipinə görə,
u ( x )
funksiyası
G
П
oblastının qapayıcısında maksimum qiymətini bu
kürənin səthində hər hansı nöqtədə alır. Bu nöqtəni
x i
ilə
işarə edlək.
x x
ardıcıllığını aşağıdakı qaydada quraq:
606
3c,+l nöqtəsi
и ( х )
funksiyasının C r f l ^ ( > oblastının
qapayıcısındakı
1/2
maksimum
nöqtədir,
burada
/
Г: -
n~
1
Z (5,
)\
•
B l M n G
çoxluğuna böyümə haqqında
V ı=l
lemmanın hökmünü tətbiq etsək, alarıq:
(l^ı
(n
))
S
u
p
< ы лс
ı + s
(2r ı (o) ) 'J flä,uınG
•
Sup u ( x
),
Burada £ > 0
S
-dən asılı ədəddir.
/
P
= İn
V
E
1
+ -
2
-
V
qəbul edək. Onda
Sup u ( x ) > e p
• iSwp wfe) olur.
Й8к(-0)ПС
^,(„)ПС
Ona. görə də, alarıq:
М ( ) ) ) > е 1} • M (г{_
j
).
1
Buradan
M ( r k ) > ( e f i j
-M(r0). olur. |< (r)|< — şərtmı nəzərə
alsaq, alarıq: |^, (r) - (ö | < ^ f a , -
f
))
Buradan
(r) >
y/x (r
.) - ~ 8
-\f/x (r
.) -
(ö)
1
Л
. + 1
^
Ona görə də
J
—
7 - 7
^ 8
-if/
, (r.)
5
•k
Deməli, |
dt
W\
(0
A—1 'l+ı
: = Z
r , ( n )
= 40
l//,(0
U
< ш
Tutaq ki, £ > 0 elə ədəddir ki, £ - 4 0 < ^ bərabərsizliyi
doğrudur. Onda alarıq:
r
к
J
r0
dt
ty\
(0
i / 3 - k
607