Blackcurse

  
 
 
 
 
 
 
O 
a 
x 
f(x) 
π
σ
2
1
 

---

 
59
Ko’rinib turibdiki, normal taqsimot ikkita parametr:
a
 va 
σ
 bilan aniqlanadi. 
Normal taqsimot berilish uchun shu ikkita parametrning berilish kifoya. Bu 
parametrning ehtimoliy ma’nosi quyidagicha: 
a
 parametr normal taqsimotning 
matematik kutilishiga, 
σ
 -o’rtacha kvadratik chetlanishiga teng. Darhaqiqat 
 
   
∫
∫
∞
∞
−
−
−
∞
∞
−
=
=
dx
xe
dx
x
xf
Х
М
a
x
2
2
)
(
2
1
)
(
)
(
σ
π
σ
 
Yangi 
σ
а
х
−
=
Ζ
 o’zgaruvchi kiritamiz. 
Bundan 
dz
dx
a
z
Х
σ
σ
=
⇒
+
=
  
U holda, 
 
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
−
∞
∞
−
−
=
+
=
+
=
=
а
a
dz
e
a
dz
ze
dz
e
X
M
z
z
z
π
π
π
σ
π
π
σ
σ
2
2
0
2
2
1
2
)
(
2
2
2
2
2
2
 
Shunday qilib, M(X)=
a
, ya’ni normal taqsimotning matematik kutilishi 
a
 
parametrga teng. Xuddi shunga o’xshash, 
σ
 (X)= 
σ
 ekanligini ko’rsatish qiyin 
emas. 
1-eslatma
. Umumiy normal taqsimot deb, ixtiyoriy 
a
 va 
σ
  (
σ
>0) parametrli 
normal taqsimotga aytiladi. 
Normalangan normal taqsimot deb, 
a
=0 va 
σ
=1 parametrli normal taqsimotga 
aytiladi. Masalan, X 
a
 va 
σ
 parametrli normal tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda 
U=
σ
а
х
−
 almashtirish bilan tasodifiy miqdor normal miqdor bo’ladi, shu bilan 
birga M(U)=0, 
σ
(U)=1. Normalangan taqsimotning zichlik funktsiyasi 
   
 
2
2
2
1
)
(
x
e
x
−
⋅
=
π
ϕ
 
Bu funktsiyaning qiymatlari jadvalari ehtimollar nazariyasiga oid ko’plab 
adabiyotlarda keltirilgan. 
2-eslatma. 
Umumiy normal taqsimotning taqsimot funktsiyasi deb, 
   
 
 
∫
∞
−
−
−
=
x
a
y
e
x
F
2
2
2
)
(
2
1
)
(
σ
π
σ
funktsiyaga, 

---

 
60
 normalangan normal tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi deb, 
   
 
 
∫
∞
−
−
=
x
Z
dz
e
x
F
2
0
2
2
1
)
(
π
 funktsiyaga aytiladi. 
 F
0
 (x) funktsiyaning maxsus qiymatlari jadvali tuzilgan bo’lib, uning grafigi 
quyidagicha shaklga ega: 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
F(x) 
O 
x 
1 
0.5 

---

 
61
Ko’rsatkichli taqsimot. 
Ko’rsatkichli (eksponentsial) taqsimot deb,  
 
   
 
 
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
−
0
,
0
,
0
)
(
x
e
x
x
f
х
λ
λ
 
 (bu  erda 
λ
>0 - o’zgarmas musbat kattalik) zichlik funktsiya bilan 
tavsiflanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi. 
Ko’rsatkichli taqsimotning taqsimot funktsiyasini topamiz 
   
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
−
−
−
=
+
⋅
=
=
х
х
х
х
e
d
х
e
d
х
d
х
х
f
х
F
0
0
1
0
)
(
)
(
λ
λ
λ
 
Demak,  
   
 
⎩
⎨
⎧
>
−
<
=
−
0
,
1
0
,
0
)
(
х
e
x
x
F
х
λ
 
Ko’rsatkichli taqsimotning zichlik funktsiyasi va taqsimot funktsiyasi 
grafiklari quyidagi chizmada tasvirlangan. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ko’rsatkichli taqsimotning matematik kutilishi, dispersiya va o’rtacha 
kvadratik chetlanishi mos ravishda quyidagicha: 
 
  M(X)=
λ
1
; D(X)=
2
1
λ
; 
σ
(X)=
λ
1
; 
Ko’rsatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorga misol 
bo’lib, eng oddiy oqim ikkita ketma-ket hodisasining ro’y berishi orasidagi vaqt 
taqsimoti xizmat qilish mumkin. 
 
f(x) 
O x 
λ
 
F(x) 
O 
1 

---

 
62
Markaziy limit teorema haqida tushuncha. 
Shu paytga qadar biz ko’p sondagi tajribalarning o’rtacha 
xarakteristikalarining turg’unligi haqida, aniqrog’i ushbu 
   
 
 
n
Х
Х
Х
S
n
n
+
+
+
=
.
.
.
2
1
 
ko’rinishdagi yig’indilarning turg’unligi haqida gapirib keldik. Ammo, S
n
 
miqdorning tasodifiy miqdor ekanligini va shuning uchun ham uning biror 
taqsimot qonuniga ega bo’lishini unitmaslik lozim. Ana shu ajoyib fakt boshqa bir 
teoremalar gruppasining mazmunini tashkil qiladiki, ular markaziy limit teoremalar 
deb atalgan umumiy nom bilan birlashtiriladi: juda umumiy bo’lgan shartlarda S
n 
uchun taqsimot qonun normal taqsimot qonunga yaqin bo’ladi. 
    
 
S
n 
miqdor ushbu  
yig’indidan o’zgarmas 
ko’paytuvchigagina farq qilganligi uchun markaziy limit teoremaning mazmunini 
umumiy holda quyidagicha aytish mumkin: ko’plab sondagi erkli tasodifiy 
miqdorlar yig’indisining taqsimoti juda umumiy bo’lgan shartlar bajarilganda 
normal taqsimotga yaqin bo’ladi. 
Ana shu bilan normal taqsimot qonunining muhim roli aniqlanadi, chunki 
ko’p sondagi tasodifiy miqdorlarning yig’indisi bilan ehtimollar nazariyasining 
o’zida ham, shuningdek, uning ko’plab tadbiqlarida ham ish ko’rishga to’g’ri 
keladi.  
Quyidagi ikkita savolga javob berish orqali markaziy limit teoremaning 
ma’nosini yanada oydinlashtiramiz. 
1. X
1
 + X
2
 +. . . +X
n
 yig’indining taqsimot qonuni normal taqsimot qonunga 
yaqin deyilgan tasdiqda qanday aniq ma’no yotadi? 
2. Qanday shartlar bajarilganda bu yaqinlik o’rinli bo’ladi? 
Bu savolga javob berish maqsadida ko’p sondagi tasodifiy miqdorlarni emas, 
balki tasodifiy miqdorlarning ushbu  
   
 
 X
1
 + X
2
 +. . . +X
n
 +. . . .  
cheksiz ketma-ketligini qaraymiz. 
X
1
 +X
2
 +. . . +X
n
 

---

 
63
Ulardan 
   
 
,
n
S
 = X
1
 + X
2
 +. . . +X
n
 (n=1,2,3,…) (1) 
ko’rinishdagi «xususiy» yig’indilarni tuzamiz. 
,
n
S
 tasodifiy miqdorlarning har 
biridan matematik kutilish 0 ga, dispersiyasi 1 ga teng bo’lgan ushbu 
   
 
)
(
)
(
,
,
,
,
,
n
n
n
n
S
D
S
M
S
S
−
=
 (2)  ko’rinishdagi 
«normallashtirilgan tasodifiy miqdorga o’tamiz.» birinchi savolga javob shundan 
iboratki, qandaydir shartlar bajarilganda 
,
n
S
 tasodifiy miqdorning taqsimoti n ning 
o’sishi bilan matematik kutilishi 0 ga dispersiyasi 1 ga teng bo’lgan normal 
taqsimot qonunga tabiiy ma’noda quyidagicha yaqinlashadi: 
 
a
 va b, 
a
   
∫
−
∞
→
=
≤
≤
b
a
X
n
n
dz
e
b
S
a
P
2
,
2
2
1
)
(
lim
π
 (3) 
bo’ladi 
,
n
S
 tasodifiy miqdorning taqriban normal taqsimotga ega bo’lishi faktidan 
,
n
S
 miqdorning ham taqriban normal taqsimlanishining kelib chiqishi tushunarlidir, 
chunki taqsimotning normal harakteri tasodifiy miqdorlar ustidagi har qanday 
chiziqli almashtirish bajarilganda ham saqlanadi.