Blackcurse
Yüklə 0,62 Mb. Pdf görüntüsü
|
| X:
х 1 x 2 . . . x n R: r 1 r 2 . . . r n Ta’rif. X diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi M(X) deb, X miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko’paytmalari yig’indisiga teng songa aytiladi, ya’ni ∑ = = + + + = n i i i n n p x p x p x p x X M 1 2 2 1 1 .... ) ( X tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari soni cheksiz, ya’ni X tasodifiy miqdor X: х 1 х 2 . . . х n . . . . R: r 1 r 2 . . . r n . . . . taqsimotga ega bo’lgan holda uning matematik kutilishi ∑ ∞ = = + + + + = 1 2 2 1 1 . . . .... ) ( i i i n n p x p x p x p x X M formula bilan aniqlanadi, bunda oxirgi qator absolyut yaqinlashadi deb faraz qilinadi. Aks holda, bu tasodifiy miqdor matematik kutilishga ega bo’lmaydi. Misol . Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping. 46 X: 1 2 3 4 5 6 R: 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 Echish. M(x)= 1 , 6 1 +2 . 6 1 +3 . 6 1 + 4 , 6 1 +5 . 6 1 +6 . 6 1 =3,5 Misol . Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping. Echish. Ma’lumki, Puasson qonuni quyidagi jadval bilan xarakterlanadi. X: 0 1 2 3 . . . k p: ! . . . ! 3 ! 2 3 к е е е е е к λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − U holda ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − − − − − = ⋅ = − = = 0 1 1 )! 1 ( ! ) ( к к к к е е е к е е к к Х М λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Shunday qilib, Puasson taqsimotini xarakterlovchi parametr X tasodifiy miqdorning matematik kutilishidan boshqa narsa emas ekan. X tasodifiy miqdor ustida n ta sinov o’tkazilgan bo’lsin. Sinov natijalari quyidagicha bo’lsin. X: х 1 х 2 . . . х k p: n 1 n 2 . . . n k Yuqori satrda X miqdorning kuzatilgan qiymatlari, pastki satrda esa mos qiymatlarning chastotalari ko’rsatilgan. X orqali kuzatilgan barcha qiymatlarning o’rta arifmetigini belgilaylik, u holda n n x n x n x Х k k + + + = . . . 2 2 1 1 yoki k k k k x x x n n x n n x n n x X ν ν ν + + + = + + + = .. . .. . 2 2 1 1 2 2 1 1 Bu erda ν 1 , ν 2 , . . . ., ν K - mos ravishda х 1 , х 2 , . . . х x qiymatlarning nisbiy chastotalari. 47 Demak, Х =M(X) ya’ni X tasodifiy miqdorning matematik kutilishi uning kuzatiladigan qiymatlari o’rta arifmetigiga taqriban teng. Matematik kutilishning xossalari. 1-xossa. O’zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o’zgarmasning o’ziga teng, ya’ni M(S)=S. Isboti. S o’zgarmas miqdorni yagona S qiymatni 1 ga teng ehtimol bilan qabul qiladigan tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shuning uchun, M(S)=S . 1=S 2-xossa. Chekli sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi ular matematik kutilishlarining yig’indisiga teng, ya’ni M(X 1 +X 2 + . . . . +X n )=M(X 1 ) + M(X 2 )+ . . .+M(X n ) 3-xossa. Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutilishi ular matematik kutilishlarining ko’paytmasiga teng, ya’ni M(X 1 . X 2 . . . . . X n )=M(X 1 ) . M(X 2 ) . . . . . M(X n ) 4- xossa. M(aX+b) = aM(X)+b, (a , b = const) Isboti. M( a X+b)=M( a X)+M(b)= a M(X)+ b 5-xossa. M(X-M(X))=0 X-M(X) tasodifiy miqdor X tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi (og’ishi) deb ataladi. Shunday qilib, tasodifiy miqdor chetlanishining matematik kutilishi nolga teng. Tasodifiy miqdor dispersiyasi . Ko’pchilik holatlarda, tasodifiy miqdorning matematik kutilishini bilish uni etarli darajada xarakterlash uchun kifoya qilmaydi. Masalan. X: -0,7 –0,01 0 0,01 0.7 48 r: 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Y: -50 –10 0 10 50 p: 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3 M(X)=0 va M(Y)=0 ekanligi ko’rinib turibdi. Ammo bu tasodifiy miqdorlar taqsimotlarining mohiyati turlicha: X miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari uning matematik kutilishidan kam farq qiladi, shu bilan bir vaqtda Y miqdorning qiymatlari uning matematik kutilishidan katta farq qiladi. Boshqacha aytganda, matematik kutilishini bilish undan qanday chetlanishlar bo’lish mumkinligi haqida xukm yuritishga imkon bermaydi. Ta’rif . X tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(X) deb, uning chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi, ya’ni D(X)=M(X-M(X)) 2 Diskret tasodifiy miqdor uchun bu formula ushbu ko’rinishini oladi: ∑ = − = n i i i p X M x X D 1 2 )) ( ( ) ( Ta’rif. X tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi σ (X) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizning qiymatiga aytiladi, ya’ni σ (X) = ) ( X D Misol. Agar A hodisaning ro’y berish ehtimoli r ga teng bo’lsa, u holda A hodisaning bitta sinovda ro’y berish sonining matematik kutilishi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishini toping. Echish . Taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi: X: 0 1 r: q p U holda, M(X)=0 . q+1p=p D(X)=(0-p) 2 . q+(1-p) 2 . p=qp 2 +pq 2 (p+q)=qp 49 σ (X)= pq Dispersiyani hisoblash uchun ko’pincha quyidagi formuladan foydalangan ma’qul: D(X)=M(X 2 )-(M(X)) 2 Dispersiyaning xossalari. 1-xossa. O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng, ya’ni D(S)=0 Isbot. S o’zgarmas miqdorni S qiymatini 1 ehtimol bilan qabul qiladi deb qarash mumkin. U holda M(S)=S va D(S)=(S-S) 2 . 1=0 2-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga ko’tarib dispersiya belgisidan tashqariga chiqish mumkin. D(S . X)=S 2 D(X) 3-xossa. Chekli sondagi bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining dispersiyasi ular dispersiyalarning yig’indisiga teng: D(X 1 +X 2 +. . . +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+. . . +D(X n ) Misol . Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X diskeret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishini hisoblang. X: -2 1 3 6 r: 0.4 0,2 0,1 0,3 Echish . M(X)=-2 . 0,4+1 . 0,2+30,1+6 . 0,3=1,5 D(X)=M(X-M(X)) 2 =(-2-1,5) 2 . 0,4+(1-1,5) 2 . 0.2+(3-1,5) 2 . 0,1+(6-1,5) 2 . 0,3=11,25 36 , 3 25 , 11 ) ( ) ( ≈ = = X D X σ Biz yuqorida dispersiyani ta’rif bo’yicha hisobladik. Endi D(X)=M(X 2 )-M 2 (X) formula bo’yicha hisoblaylik. Buning uchun dastlabki X 2 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzib olamiz. X 2 : 4 1 9 36 50 r: 0,4 0,2 0,1 0.3 D(X)=M(X 2 )-M 2 (X)=13,5-2,25=11,25 Ta’rif. X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya momenti (yoki kovariatsiyasi) deb, quyidagi songa aytiladi. Yüklə 0,62 Mb. Dostları ilə paylaş:
|