Blackcurse

   
 
(X<
x
2
)=(X<
x
1
)+(
 x
1
≤
X
<
x
2
).
 
Bundan 
   
 
R
(X<
x
2
)=R(X<
x
1
)+R(
x
1
≤
X
<
x
2
). 
yoki 

---

 
54
   
 
F(
x
2
)- F(
x
1
)= R(
x
1
≤
X
<
x
2
). 
ehtimol manfiy bo’lmasligini hisobga olsak, 
   
 
 
F(
x
2
)- F(
x
1
)
≥
0 
yoki 
   
 
 
F(
x
1
)
≤
 F(
x
2
) 
1-natija.
 Tasodifiy miqdorning (
a
:b) intervalda yotuvchi qiymatni qabul qilish 
ehtimoli taqsimot funktsiyasining shu intervaldagi orttirmasiga teng: 
   
 
R(
a
≤
X
a
) 
2-
natija. 
X uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymat qabul qilishi ehtimoli 
nolga teng. 
 Xaqiqatan ham, 
a
=x
1
; b=x
1
+
Δ
x deb olsak, quyidagiga ega bo’lamiz. 
   
 
R(
x
1
≤
X<
х
1
+
Δ
x
) = F(
x
1
+
Δ
x
)-F(
x
1
) 
Δ
x ni nolga intiltiramiz. X uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lgani uchun F(x) 
funktsiya uzluksiz bo’ladi. F(x) ning x
1
 nuqtada uzluksizligidan F(x
1
+
Δ
x)-F(x
1
) 
ayirma ham nolga intiladi, demak 
   
 
 
 
R(X=
x
1
)=0
 
3-xossa
.
 Agar tasodifiy miqdorning
 
mumkin bo’lgan qiymatlari (a;b) intervalga 
tegishli bo’lsa, u holda 
   
 
x
≤
 
a 
da F (
x
)=0, 
x
>
 b da F (
x
)=1 
 
Natija.
 Agar tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari butun ox o’qda 
joylashgan bo’lsa, u holda quyidagi limit munosabatlar o’rinli:  
   
 
1
)
(
lim
,
0
)
(
lim
=
=
∞
→
−∞
→
x
F
x
F
x
x
   
Misol
. X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funktsiya bilan berilgan: 
   
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
<
−
+
−
≤
=
3
,
1
3
1
,
4
1
4
1
1
,
0
)
(
x
x
x
x
x
F
   
 
Sinash natijasida X miqdor (0 ;2) intervalga tegishli qiymat qabul qilish 
extimolini toping. 
Echish.
  

---

 
55
 
  P(02
1
4
1
0
4
1
4
1
2
4
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
−
+
⋅
  
Misol
.
 X diskret tasodifiy miqdor quydagi taqsimot qonuni bilan berilgan. 
   
 
X: 1 4 8 
   
 
r: 0,3 0,1 0,6 
 
 
Taqsimot funktsiyani toping. 
Echish.
 
 
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
<
≤
=
8
,
1
8
4
,
4
,
0
4
1
,
3
,
0
1
,
0
)
(
x
x
x
x
x
F
 
   
 
Ehtimollarning zichlik funktsiyasi.
 
Yuqorida uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot funktsiya yordamida bergan 
edik. Tasodifiy miqdorni bu usulda berish yagona emas. Uzluksiz tasodifiy 
miqdorni, ehtimollar taqsimotining zichlik (differentsial)
 
funktsiyasidan 
foydalanib ham berish mumkin.  
 Ta’rif
.
 Taqsimotning zichlik f(x) (differentsial) funktsiyasi deb,taqsimot 
funktsiyasidan olingan birinchi tartibli f (x) = 
′
F
(x) hosilaga aytiladi. 
Zichlik funktsiyasini bilgan holda, uzluksiz tasodifiy miqdorning berilgan 
intervalga tegishli qiymat qabul qilishi ehtimolini hisoblash mumkin.  
Teorema:
 X uzluksiz tasodifiy miqorning (
a
;b) intervalga tegishli qiymat 
qabul qilishi ehtimoli zichlik funktsiyasidan a dan b gacha olingan aniq integralga 
teng:  
   
 
R(
a

b
a
∫
f
( x) dx 
Bundan tashqari, 
ƒ
(x) zichlik funktsiyasini bilgan holda F(x) taqsimot 
funktsiyasini quyidagi formula bo’yicha topish mumkin:  
   
 
F(x) = 
X
∞
−
∫
ƒ
(y)dy 

---

 
56
Shunday qilib, zichlik funktsiyasini bilgan holda taqsimot funktsiyasini topish 
mumkin. Albatta, taqsimot funktsiya ma’lum bo’lsa, zichlik funktsiyasini topish 
mumkin, chunonchi f(x) =
′
F
(x). 
Misol
.
 Berilgan zichlik funktsiya bo’yicha taqsimot funktsiyani toping.  
 
 
ƒ
(
x
)=
b
x
b
x
a
a
b
x
>
≤
<
−
≤
,
0
,
1
0
,
0
 
Echish. Agar x
≤
a bo’lsa, u holda 
ƒ
(x)=0 va demak, F(x)=0.  
Agar 
a
≤
b bo’lsa, 
   
F(x)=
a
b
a
x
a
b
dy
dy
dy
y
f
x
a
a
x
−
−
=
−
+
=
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
0
)
(
 
Agar x>b bo’lsa, 
 
 F(x)=
1
0
=
+
−
−
=
+
−
=
∞
∞
−
∞
−
∫
∫
∫
a
b
a
b
ody
a
b
dy
ody
b
b
x
 
 Demak, 
 
  F(x)=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
<
−
−
<
b
x
b
x
a
a
b
a
x
a
x
,
1
,
,
0
 
Odatda, bunday zichlik funktsiya bilan berilgan tasodifiy miqdorni (
a
;b) 
oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. 
 
 
  Differentsial 
funktsiyaning 
xossalari 
1-xossa
. Differentsial funktsiya manfiy emas: 
ƒ
(x)
≥
0 
Isbot
.
 Bu xossa 
ƒ
(x) kamaymaydigan F(x) taqsimot funktsiyaning hosilasi 
ekanligidan kelib chiqadi.  
2-xossa.
 Differentsial funktsiyadan -
∞
 dan +
∞
 gacha olingan hosmas integral 
birga teng: 
   
 
 
1
)
(
=
∞
∞
−
∫
dx
x
f
 

---

 
57
Isboti
.
 Nyuton-Leybnits formulasiga asosan; 
   
 
1
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
=
−∞
−
+∞
=
=
∞
−
∞
∞
∞
−
∫
F
F
I
x
F
dx
x
f
 
Shuni isbotlash talab qilingan edi. 
 
Eslatama: 
Agar X tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari [
a
;b] 
kesmadan iborat bo’lsa, u holda yuqoridagi formula  
   
 
 
∫
=
b
a
dx
x
f
1
)
(
 
ko’rinishini oladi. Bu formula geometrik nuqtai nazardan OX o’q 
ƒ
(x) funktsiya va 
x=
a
; x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 1 ga 
tengligini bildiradi. 
 
Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari. 
Ta’rif.
 
Mumkin bo’lgan qiymatlari [
a
;b] kesmaga tegishli bo’lgan X uzluksiz 
tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb,  
   
 
∫
=
b
a
dx
x
xf
Х
M
)
(
)
(
 
aniq integralga aytiladi. 
Agar mumkin bo’lgan qiymatlar butun X o’qqa tegishli bo’lsa, u holda  
   
 
∫
∞
∞
−
=
dx
x
xf
x
M
)
(
)
(
 
Bu o’rinda hosmas integral absolyut yaqinlashuvchi, ya’ni  
 
 
 
 
∫
∞
∞
−
dx
x
f
x
)
(
 
integral mavjud deb faraz qilinadi. 
Ta’rif
.
 Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb uning chetlanishi 
kvadratining matematik kutilishiga aytiladi. 
Agar mumkin bo’lgan qiymatlar [
a
;b] kesmaga tegishli bo’lsa u holda  
   
 
∫
−
=
b
a
dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
))
(
(
)
(
2
 
agar OX o’qqa tegishli bo’lsa,  

---

 
58
  
∫
∞
∞
−
−
=
dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
))
(
(
)
(
2
 
Misol
. 
Ushbu taqsimot funktsiya bilan berilgan X tasodifiy miqdorning 
matematik kutilishi va dispersiyasini toping. 
   
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
=
1
,
1
1
0
,
0
,
0
)
(
x
x
x
x
x
F
 
Echish
: 
   
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
=
=
1
,
0
1
0
,
1
0
,
0
)
(
)
(
,
x
x
x
x
F
x
f
 
Matematik kutilishini topamiz: 
   
2
1
2
1
)
(
1
0
2
∫
∫
=
=
⋅
⋅
=
x
dx
x
X
M
 
Dispersiyani topamiz:  
 
(
)
∫
∫
=
−
=
−
=
1
0
1
0
3
2
2
12
1
4
1
3
2
1
1
)
(
x
dx
x
X
Д
 
Normal taqsimot qonuni. 
  Normal taqsimot deb, 
 
2
2
)
(
2
1
)
(
σ
π
σ
а
х
e
x
f
−
−
⋅
=
 
zichlik funktsiya bilan beriladigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga aytiladi. 
 
Bu zichlik funktsiya grafigining sxematik chizmasi quyidagi ko’rinishga ega: