Dərs vəsaiti baki 2016 azərbaycan döVLƏt neft və SƏnaye universiteti

12. TƏSADÜFİ KƏMİYYƏTLƏRİN (XƏTALARIN)

ƏSAS XARAKTERİSTİKALARI
Metrologiya sahəsində anlayışları öyrənərkən qeyd etmişdik ki, ölçmə xətası sərti olaraq iki toplanana- sistematik və təsadüfi xətalara ayrıla bilər. Əgər toplanandan biri təsadüfi kəmiyyətdirsə onda cəm də təsadüfi olacaqdır. Bu baxımdan ölçmə xətası təsadüfi kəmiyyətdir. Hər bir ölçmə nəticəsinə xəta da daxil olduğundan elə ölçmə nəticəsi özü də təsadüfi kəmiyyətdir. Təsadüfi kəmiyyətlərin qiymətləndirilməsi ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanmış paylanma qanunları vasitəsilə həyata keçirilir.

Təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlə həmin qiyməti alma ehtimalı arasında olan istənilən asılılıq paylanma qanunu adlanır.

X – təsadüfi kəmiyyətin x – dən kiçik qiymətlər alma ehtimalı:

P ( X < x ) = F ( x ) , (12.1)

burada F (x) – təsadüfi kəmiyyətin paylanma (inteqral paylanma) funksiyası adlanır.

Diskret (fasiləli) təsadüfi kəmiyyətlər üçün paylanma funksiyasının qrafikinə baxsaq aşağıdaki əyrini görmək olar.

a) F b) F

F(x₂)

1

F(x₁)






x₁ x₂ x

-8 -5 -2 3 8 x

Şək.12.1. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyaları

a) diskret; b) fasiləsiz

P ( x₁< X < x₂) = F(x₂) – F (x₁) (12.2)

(12.1) yazılışında aşağıdakı mənfi sonsuzluqdu: F(-∞)=0; F(∞)=1.

Əgər təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası fasiləsizdirsə və diferensiallanandırsa, onda təsadüfi kəmiyyətin paylanma sıxlığı (diferensial paylanma funksiyası) təyin edilə bilər: f ( x ) = F^I( x ). f (x) – paylanma sıxlığı (-) olmayan funksiyadır.

f
<sub>(12.3)


x x2 x


Şək.12.2. Paylanma sıxlığı mənfi olmayan funksiya</sub>

Buradan belə çıxır ki, paylanma funksiyasının qrafikindəki x₁ və x₂ nöqtələrinə uyğun ordinatların fərqi ədədi qiymətcə paylanma sıxlığı qrafikindəki əyri ilə x₁ və x₂ nöqtələrinin fərqinin yaratdığı sahəyə bərabərdir. Paylanma funksiyaları ilə yanaşı, təsadüfi kəmiyyətləri qiymətləndirmək üçün onların ədədi xarakteristikalarından da (momentlərindən də) istifadə edilir.

Fasiləli (diskret) təsadüfi kəmiyyə üçün “k”-cı tərtibdən olan başıanğıc moment:


<sub>(12.4)
,

burada xi - “X”- təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi “i”-ci qiyməti; Pi isə həmin qiyməti alma ehtimalıdır.

Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin “k”-cı tərtibdən olan başlanğıc momenti


(12.5)</sub>

Birinci tərtibdən olan başlanğıc moment təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi adlanır.

<sub>Fasiləli təsadüfi kəmiyyət üçün riyazi gözləmənin ifadəsi:

, (12.6)

Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət üçün:


(12.7)


Fasiləli təsadüfi kəmiyyətin “k”-cı tərtibdən olan mərkəzi momenti:


(12.8)


Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin “k”-cı tərtibdən olan mərkəzi momenti:


(12.9)


Birinci tərtibdən olan mərkəzi moment həmişə sıfra bərabərdir.

İkinci tərtibdən olan mərkəzi moment təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası adlanır: D[X] = M [(x-mx)</sub>²<sub>].

Fasiləli təsadüfi kəmiyyət üçün dispersiya:

(12.10)

Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət üçün:

(12.11)

İkinci tərtibdən olan mərkəzi momentin (dispersiyanın) kvadrat kökünə - təsadüfi kəmiyyətin orta kvadratik meyletməsi (xətası) deyilir:

(12.13)



Əgər təsadüfi kəmiyyətin hər iki momenti mövcuddursa, onda normallaşdırılmış təsadüfi kəmiyyəti aşağıdakı kimi təyin etmək olar:


(12.14)


Normallaşdırılmış təsadüfi kəmiyyətin M[xn]=0, dispersiyası isə D[xn]=1.

Ölçmə praktikasında riyazi gözləmə və dispersiyanın (orta kvadratik xətanın) təyin olunması üçün Pi –lərin qiyməti məlum olmalıdır. Bunun üçün isə əvvəlcədən çoxlu sayda ölçmələrin aparılması lazım gəlir ki, (çünki təsadüfi kəmiyyətin mümkün ola biləcək hər bir qiymətinin alınma ehtimalının tapılması lazım gəlir) bu da əhəmiyyətli dərəcədə maddi və əmək xərcləri tələb edir. Ona görə də praktiki ölçmələrdə riyazi gözləmə kimi ölçmə nəticələrinin orta hesabi qiyməti:


(12.15)


orta kvadratik meyletmə isə:


(12.16)


Riyazi gösləmənin və dispersiyanın xassələri:</sub>

1. 
   _{Təsadüfi olmayan (gerçək) kəmiyyətin riyazi gözləməsi özünə bərabərdir: M[a] = a}
   
2. 
   _{Təsadüfi olmayan kəmiyyəti riyazi gözləmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar: M[a·X]=a·M[X]}
   
3. 
   _{Təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin riyazi gözlənməsi onların riyazi gözləmələrinin cəminə bərabərdir: M[X1+X2+…+Xn]=M[X1]+M[X2]+…+M[Xn]}
   
4. 
   _{Təsadüfi kəmiyyətlərin hasillərinin riyazi gözləməsi onların riyazi gözləmələrinin hasilinə bərabərdir: M[X1·X2·…·Xn]=M[X1]·M[X2]+…+M[Xn]}
   
5. 
   _{Təsadüfi olmayan kəmiyyətin dispersiyası sıfra bərabərdir: D[a]=0}
   
6. 
   _{Təsadüfi olmayan kəmiyyəti kvadrata yüksəldərək dispersiya işarəsi xaricinə çıxartmaq olar: D[a·x]=a}²_·D[X]
   
7. 
   _{Təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:}
   

<sub>D[X1+X2+…+Xn]=D[X1]+D[X2]+…+D[Xn]

 



Misal. Tutaq ki, iki sərfölçən cihazlara kənar təsirlər, maneələr onların dayanıqlı göstərişinə təsir edir. Tutaq ki, bu maneələr iki ballıq sistemdə 1 və 2 bal qiymətlərinə malikdir.








Riyazi gözləmələrə görə sərfölçənlərin bir-birindən fərqləndirmək mümkün olmasa da dispersiyanın köməyi ilə onları bir-birindən fərqləndirmək mümkün olur. Belə ki, birinci sərf ölçənin göstərişi maneələrin təsirinə nəzərən daha dayanıqlıdır, çünki ədədi qiymətcə ikinci sərfölçən üçün təyin olunmuş dispersiyadan azdır.

Təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma sıxlığının (diferensial paylanma funksiyasının) riyazi ifadəsinə (əyrisinə) görə müxtəlif paylanma qanunlarını bir-birindən fərqləndirilir. (Düz bucaqlı – bərabər paylanma, üçbucaqlı paylanma, trapesşəkilli, normal paylanma və s.). Ölçmə praktikasında ən çox istifadə olunan paylanmalar bərabər və normal paylanmalardır.

Bərabər paylanma qanunu. Əgər təsadüfü kəmiyyətin (xətanın) paylanma sıxlığı (diferensial paylanma funksiyası) müəyyən intervalda sabitdirsə və bu intervaldan kənarda sıfra bərabərdirsə, belə paylanma bərabər (düzbucaqlı) paylanma qanunu adlanır.

Bu cür paylanma qanununa tabe olan təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının (inteqral paylanma funksiyasının) qrafiki şək.12.5-dəki kimi olacaqdır.

Şək.12.4. Ölçmə nəticəsi üçün bərabər paylanma

qanununun qrafiki</sub>


x-a


<sub>Şək.12.5. Ölçmə nəticəsi üçün inteqral paylanma

qanununun qrafiki
Təsadüfi kəmiyyətin ölçmə xətası olduqda bərabər paylanma qanunu əyrisi ordinat oxuna simmetrik şəkildə olacaq.

S=1 1/2a



0 Ψ< -a, Ψ>a

f(Ψ) =

1/2a -a ≤Ψ≤a

-a a Ψ

Şək. 12.6. Simmetrik paylanma



Şək.12.7. İnteqral funksiya


.

Təsadüfi kəmiyyətin ab parçası daxilində yerləşmiş (α,β) parçasına düşmə ehtimalı:

.

Normal paylanma qanunu. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma sıxlığı (diferensial paylanma funksiyası) aşağıdaki ifadə ilə yazılırsa,onda bu cür paylanma normal paylanma qanunu adlanır.

(12.17)

Normal paylanma qanununa tabe olan təsadüfi kəmiyyətin (ölçmə nəticəsinin) paylanma əyrisi aşağıdaki şəkildə verilmidir.


 </sub>