International scientific conference of young researchers

I INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

Baku Engineering University

  

11  

27-28 April 2018, Baku, Azerbaijan

 

 

 

 

If  we  continue  to  calculate  the  probability  of  being  certain  position  after  n  steps,  we  will  find 

binomial characteristics of simple random walk. Let us denote position with m, number of steps to the 

right with a and to the left with b, and number of total steps with n. Then, 

paths

step 

n 

 of  

number

Total 

goes to m

that 

paths 

step 

n

Number of

n

m

P

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

)

 

 ,

 

(

 



 

Which is equal to  

)!

(

!

 

 !

 

2

1

)

 

 ,

 

(

 

a

n

a

n

n

m

P

n









 

For instance, the probability of being 

2



x

 after 2 steps is equal to 

4

1

)!

2

2

(

!

 

2

 !

 

2

2

1

)

 

2

 

,

2

 

(

 

2











P

, as 

we get above on tree algorithm. In order to find expected value formula, let us denote it as 

n

S

: 

n

n

n

n

P

P

P

P

x

P

x

P

x

S





















....

....

2

1

2

2

1

1

 

Where 

n

x

x

x

,....

,

2

1

 

are  positions  and

n

P

P

P

,....

,

2

1

  are  probabilities  corresponded  to  the  given 

positions. Because 

1

,....

2

1









n

P

P

P

, we can simplify the expectation value formula, 

    

n

n

n

P

x

P

x

P

x

S















,....

2

2

1

1

 

The finite additivity property of expectation gives: 

 







n

i

i

n

x

S

1

 

We can get expectation value of the squared value of random variables as follow: 

 







n

i

i

n

x

S

1

2

2

 

There are some interesting problems pertain to random walk. One of them is Gambler’s ruin. This 

problem states that two players ,A and B, play a game with independent rounds where, in each round, 

one of the players wins one 1 dollar from his opponent ; A with probability p and B with probability 

p

q





1

  .  A  starts  the  game  with  a  dollar  and  B  with  b  dollar.  The  game  ends  when  one  of  the 

players is ruined. The  main  question  for  this  problem  is  “What  are  the  player’s  ruin probabilities?” 

Sometimes  it  is  called  as  absorption  probabilities.  Answer  of  indicated  question  corresponds  to  a 

random  walk  where  a  particle starts  at 

0



x

  and  is  absorbed  in the  states 

b

x



  and

a

x





  or, 

equivalently, starts at 

a

x



 and is absorbed at 

0



x

 and 

b

a

x





. Let 

 

dollars)

 

 

has

 

he

 when 

 wins

(

 

k

A

p

A

k



  

Then, 

0

0



A

 and 

1





b

a

A

.Our aim is to find 

a

A

. 

 

1

1













k

k

k

A

q

A

p

A

  

(2) 

This homogenous equation can be solved by determining the zeros of characteristic polynomial, 

---