Mental Arifmetika

1-eshikning orqasida nima bor. 
1991-yilgi “Parade” jurnalidagi “Banal matematika” maqolasi hammani 
quyishqonidan chiqargan Merelin Vos Savantga tegishli bo’lgan (Ginnes 
rekordlar kitobidagi eng yuqori IQ ga ega ayol). Ushbu paradoks. Ushbu 
paradoks “Monti Xollaning muammosi” nomini oladi va quyidagi ko’rinishda 
bo’ladi: 
Siz “Keling shartnoma tuzamiz ” (Let’s Make a Deal) ishtirokchisisiz. Monti 
Xoll sizga uchta eshikdan bittasini tanlash huquqini beradi: bitta eshikni 
orqasida katta yutuq, qolgan ikkita eshikni orqasida – echkilar. Siz №2 eshikni 
tanlaysiz. Ammo Monti sizni yutuqizni ko’rsatishdan oldin, siz tanlamagan №3 
eshik ortidagi yutuqni ko’rsatadi. Bu echki bo’ladi. Monte yana jig’izga tegadi 
va boshqa tanlov huquqini beradi: Uzingiz tanlagan №2 eshik bilan davom 
etasizmi yoki tavakkal qilib №1 eshik ortida nima borligini ko’rmiqchimisiz? 
Tasavvur qilib ko’raylik, Monte yutuq yo’q joyni bizga ko’ratmoqchi bo’lsa, u 
har doim “tasalli beradigan” eshiklarni birini ochadi. Bu holat bizni 2ta eshik 
bilan qoldiradi: bittasi katta yutuq bilan, boshqasi esa tasalli beradigan kichkina 
yutuq bilan. Hozir sizning tanlash imkoningiz 50-50%, shundaymi ? 
Yo’q, noto’gri! Birinchi tanlovingizni tog’riligi ehtimoli 1 ga 3. Katta yutuqni 
bo’shqa eshik ortidaligi ehtimoli 2 ga 3, chunki ehtilollarning yig’indisi 1 ga teng 
bolishi kerak. 
Shunday qilib, eshiklarni o’zgartirish yo’li bilan siz yutish imkoningizni ikki 
martaga oshirasiz! (tahmin qilib ko’raylik) Agar Monte har doim ishtirokchiga 
shunday qilish imkoniyatni bersa ya’ni u har doim “yutuqsiz” eshikni ko’rsatadi 
va qachonki sizni tanlovingiz tog’ri bo’lganida u tavakkaliga “yutuqsiz” eshikni 
tanlaydi. Ana endi ushbu vaziyantni o’nlab eshiklar bilan tasavvur qilib ko’ring. 
Siz bittasini tanlaysiz va u qolgan sakkizta “yutuqsiz” eshiklarni ochadi. Katta 
ehtimol bilan aytish mumkuni sizning instinktlaringiz sizga eshikni 
almashtirishni aytishadi. Odamlar ushbu muammoni variantlar bilan almashirib 
qo’yishadi: agar Monte Xoll katta yutuqni qaerdaligini bilmay turib №3 eshikni 
ochsa va u erda echki bo’lsa (ammo u erda yutuq ham bo’lishi mumkin edi), 
unda №1 eshik 50% lik yutuqli imkoniyatga ega bo’ladi. Ushbu natija 
shunchalar bemaniki, Merilin Vos Savantga bir to’da xat (ko’pchiligi olimlardan 
va hattoki matematiklardan) jo’natiladi, ularda siz matematika haqida 
yozmaganiz yaxshi edi deb yoziladi. Ullarning hammasi adashishgandi. 
Darajani kubga oshirish 
Biz ushbu bobni yangi darajani kubga oshirish yo’li bilan tugatamiz. (Eslang, 
sonning kubi – bu oziga ikki marta ko’paytirilgan sondir. Masalan, beshning 

---

kubi – 5
3
belgilanib – 
5 × 5 × 5 = 125
) ga teng bo’ladi. O’zinggiz amin 
bo’ldingiz, bu ikki honali sonlarni bir biriga ko’paytirishdan ham unchaliq qiyin 
emas. Ushbu usul algebraik kuzatishlardan tashkil topib shuni ko’rsatadiki: 
(ko’rinmadi) 
Bu erda d – istalgan son. Huddi ikki honali sonni kradratga oshirish singari men 
d ni shunday tanlaymanki, u o’nga ga karrali songa yaqin bo’lsin. Masalan, 13 
ni kvadratga oshirganda d = 3 ga teng boladi va natija quyidagicha bo’ladi: 
13
3
=(10x13x16)+(3
2
x13) 
Agar 13x16=13x4x4=52x4=208 va 9x13=117 larni inobatga olsak, unda
13
3
=2080+117=2197 
35 kubini hisoblab koramizmi? Unda d=5 ga deb belgilab
(ko’rinmadi) 
Agar 30x35x40=30x1400=42000 va 35x5x5=117x5=875 larni inobatga olsak, 
unda
35
3
=42000+875=42875 
49 ni kubga oshirish jarayonida 50 ga yaxlitlaymiz va d=1 deb belgilaymiz. 
Quyidagicha: 
Biz 48x49 ifodani faktoring usuli bilan echishimiz mumkin, lekin bu turdagi 
misollar uchun men “birgalikadagi yaqinlik” usulini avfzal ko’raman va u 8 
bobda tasvirlab beriladi. (Xoxlasangiz xoziroq oldinga sakrab qarab olishingiz 
mumkin, 
agar 
hohlasangiz 
albatta!) 
Ushbu 
usulni 
qollab 
biz 
48x49=(50x47)+(1x2)=2652 natijaga ega bo’lamiz. Bu sonni 50 ga ko’paytirib 
117600 ga ega bo’lamiz va
(ko’rinmadi) 
Keyingi misol qiyinroq. 92 ni kub darajaga ko’tarishga harakat qilib ko’ring. 
92
3
=(90x92x94)+(2
2
x92) 
Agar siz ikki honali sonlarni kvadratini tez hisobla olsangiz, demak siz 
92x94=93
2
-1=8648 ni ham echa olasiz, yoki siz “birgalikadagi yaqinlik” usulini 
ishlatib 92 х 94 = (90 х 96) + (2 х 4) = 8648. Bu sonni 9 ga ko’paytirib (8 bobni 
boshida ko’ratilganidek), biz 9 х (8600 + 48) = 77 400 + 432 = 77 832, va 90 х 
92 х 94 = 778 320 natijaga ega bo’lamiz. 4x92=368 e’tiborga olsak, biz 
quyidagiga ega bo’lamiz 
(ko’rinmadi) 
Qayd etishimiz kerakki, “qo’shma yaqinlik” uslubini ko’paytma missollar uchun 
ishlatayotganimizda uch xonali sonlarni darajasini kubga ko’tarish jarayonida 
kichik ko’paytmani, qaysiniki qo’shish kerak (d=1, 2, 3, 4 yoki 5-ga teng 
bo’lishiga qarab), 1x2=2, 2x4=8, 3x6=18, 4x8=32 yoki 5x10=50. Kelinglar 96 
ning kubinchi darajasiga yakun solaylik. 
96
3
=(92x96x100)+(4
2
x96) 
92x96=8832 ko’paytmani turli xil usullar bilan ishlasa bo’ladi. Kelinglar bobni 
tugagani nishonlab ba’zilaridan foydalanamiz. Men eng qiyinidan boshlayman 
va eng oson usul bilan tugataman, bu faqat mening fikrim albatta. Qo’shish usuli 
natijalariga ko’ra, (90 + 2) х 96 = 8640 + 192 = 8832; ayirish usuli natijalariga 
ko’ra 92 х(100 - 4) = 9200 - 368 = 8832; faktoring usuli natijalariga ko’ra 92 х 
6 х4 х 4 = 552 х 4 х 4 = 2208 х 4 = 8832; qo’shma yaqinlik usuli natijakariga 

---

ko’ra esa asos 90 ga teng bo’lganida (90 х 98) + (2 х 6) = 8820 + 12 = 8832; 
kvadratga oshirish usuli natijalariga ko’ra 94
2
- 2
2
= 8836 - 4 = 8832; va qo’shma 
yaqinlik usuli natijakariga ko’ra esa asos 100 ga teng bo’lganida (100х88) + (-
8 х -4) = 8800 + 32 = 8832. 
4
2
х 96 = 1536 ko’paytmani ham turli xil usullar yordamida echsa bo’sadi, 
masalan, 96 х 4 х 4 = 384 х 4 = 1536 yoki 16 х (100 -4) = 1600 - 64 = 1536. Va 
nihoyat 8832 х 100 = 883 200 bo’lgani uchun
96
3
=883200+1536=884736 
Ikki honali sonlarni darajasini kubga oshirishga doir misollar: 
4 Bob 
Bo’lib tasha va hukumronlik qil: Og’zaki bo’lish 
Og’zaki bo’lish – Juda ham foydali qobiliyat, biznesda ham hayotingiz 
jarayonida ham. Oylab ko’ringchi, Bir haftada necha marta siz og’zaki bo’lishni 
talab qiladigan holatlarga duch kelasiz, masalan, choyhonadagi gapni eb-icharini 
bo’lishda, qopdagi 1 kg narxini aniqlashda yoki 100000 sumga necha litr benzin 
olishingiz mumkinligini hisoblashda! Og’zaki bo’lish qobiliyati sizni tez-tez 
hisoblagichga ishingiz tushushidan qutqaradi. 
Og’zaki bo’lishni ichida, chapdan o’ngga hisoblash jarayoni boshlanadi. Bu 
huddi o’sha – bizga maktabda o’rgatilgan usul, bu usul sizga begona bo’lmasligi 
kerak. Meni esimda, bolaligimda o’ylardimki, ushbu chapdan o’ngga bo’lish 
usuli arefmetikaning ko’rinishini ko’rsatib beradi deb. Men tez-tez o’ylab 
qolardim, agar maktabda o’ngdan chapga bo’lish usulini o’rgatishni 
topishganida, ular albatta shunday qilishardi! 
Bir honali sonlar bilan bo’lish 
Og’zaki bo’lishdagi birinchi qadam bu – javobimizni necha honali bo’lishidir. 
Nima demoqchiligimni anglashingiz uchun quyidagi misol bilan tanishib 
ko’ring: 
179÷7 
Ushbu misolni echish uchun Q sonini topishga harakat qilamiz, Q shunday sonki, 
7 marta Q teng 179 ga. Hozir, 179 7x10=70 va 7x100=700 orasida bo’gani 
uchun, Q ham 10 va 100 orasidagi intervalda bo’ladi. Bu anglatadiki, bizning 
javobimiz ikki honalidir. Shuni inobatga olib, biz birinchi navbatda eng katta 10 
ga karalli va biz uni 7 ga ko’paytira oladigan, lekin natija 179 bo’ladigan bo’lishi 

---

kerak. Bizga ma’lumki, 7x20=140 va 7x30=210, demak bizning javobimiz 
(20;30) oralig’ida. Hulosa qimishimiz mumkin, 20 soni bizning javobimizni bir 
qismi deb. Keyingi qadam 179 - 140 =39. Endi esa bizning misolimiz 39÷7 
ko’rinishiga keldi. 7x5=35 hisobga olsak, 39 dan 4 ga farq qilishini inobatga 
olib, bizda endi javobning ikkinchi qismlari “5” va 4 qoldig’I bor. Bu 
jarayonning ko’rinishi quyidagicha: 
Qoldiq 
Javob: 25 va 4 qoldig’ yoki 
25
4
7
Keling shunga o’xshash bo’linma misolni echib ko’ramiz, huddi shu usul bilan: 
675÷8 
O’tgan safarga o’xshab, 675 8 х 10 = 80 va 8 х 100 = 800 oralig’ida bo’lar ekan, 
sizning javobingiz 100 dan kichkina va albatta ikki honalidir. Bo’lishni amalga 
oshirish uchun х 80 = 640va 8 х 90 = 720 inobatga olishni unutmang. Demak 
sizning javobingiz 80 atrofida dumchasi (qoldiq) bilan. Dumcha nechaga teng? 
Buni bilish uchun 640 ni 675 dan ayiring, 35 qildiqni olish uchun. 80 jumlasini 
qo’llagandan keyin bizni misolimiz 35÷8 ko’rinishiga kelib bo’lgandi. 8x4=32 
bo’lgani uchun natijamisiz 84 qoldig’I esa 3 yoki 84 va 3/8. O’zimizga qulay 
usulda ko’rsatadigan bo’lsak: 
Qoldiq 

---

Javob: 84 qoldiq 3 yoki 
84
3
8
Asosiy og’zaki hisoblashlar kabi bo’lish jarayonini ham soddalashtirish jarayoni 
desa bo’ladi. Qanchalik ko’p hisoblasangiz shunchalik kichkina ko’rinishga 
keladi 675/8 dan 35 ÷ 8 ga kabi. 
Endi keling javobi 3 honali bo’lgan misolni echishga harakat qilib ko’ramiz: 
947÷4 
Bu safar sizning javobingiz 3 honali, negaki 947 4 х 100 = 400 va 4 х 1000 = 
4000 orasida joylashgan. 947 gacha bolgan sonlar orasida 100 ga karrali bo’lgan 
eng katta bo’luvchini izlaymiz. 4x200=800 bo’lgani uchun, bizning javobimiz 
200> bo’lishi aniq. Demak, olg’a! 947 dan 800 ning ayirmasi bizga yangi 
misolni 147÷4 beradi, 4x30=120 bo’lishini inibatga olsak, 30 ni ham 
javobimizga qo’shib qo’ysak bo’ladi. 147 dam 120 ayirib, 27÷4 hisoblaymiz, 
javobimizni qolgan qismini bilish uchun: 6 qoldig’ 3. Natijamiz 236 qoldiq 3 
yoki 
236
3
4
. 
Qoldiq 
Javob: 
236
3
4
Keyingi misolimizda 4 honali sonni 1 honali ga bo’lishni ham osonligini 
ko’rishingiz mumkin: 
2196÷5 
Bu misolimizning javobini yuzliklar bilan ifodalaymiz, chunki 2196 5 х 100 = 
500 va 5 х 1000 = 5000 orasida joylashgan. 5x400=2000 aniqlab bo’lgach, 400 
ni javobimizning asosiy qismi deb, yuqoridagi misollar kabi 196÷5 hisoblashga 
o’tamiz: 
(ko’rinmadi) 
Javob: 
439
4
5
Aslida, ohirgi misolni echishni yanada osonroq usuli mavjud. Biz bo’linuvchi 
va bo’luvchini 2 ga ko’paytirish yo’li bilan misolni soddalashtirishimiz mumkin. 
2196 х 2 = 4392 hisobga olib, 2196 ÷ 5 = 4392 ÷ 10 = 439,2 yoki 439 va 2/10. 
“Kesish” usulini keyingi bobda chuqurroq ko’rib chiqamiz. 
Bir honali songa bo’lishga doir misollar: 

---

(ko’rinmadi) 
Katta barmoq qoidasi 
Qogo’zdamas, og’zaki bo’lganingizda, sizga hisoblash jarayonida javoblarning 
qismlarini eslab qolish qiyin ko’rinishi mumkin. Yuqorida ko’rganingizdek, 
variantlardan biri bu hisoblash jarayonida javoblari ovoz chiqarib aytish. Agarda 
vazifani qiyinlashtirmoqchi bo’lsangiz, menga o’xshab javoblarni barmoqlar 
orqali hotirada saqlab va faqatgina ohirida hammasini hisoblab javobni og’zaki 
aytishingiz mumkin. Bunday holatda boshqa muammoga duch kelishingiz 
mumkin, ya’ni javoblaringiz honalari beshdan katta bo’lganda, chunki har bir 
qolimiz faqatgina beshta barmoqga egadir. Maxsus usul bu muammoning 
echimi, asosida …. Men buni “Katta barmoq qoidasi” deyman. U 3 yoki undan 
ko’proq honali sonlarni eslab qolishda ancha foydaliroq. Bu usul nafaq bu bobda 
foydali, balki keyingi boblardagi qiyinroq va kattaroq misollarda ham kerak 
bo’ladi. 
Siz bilasizki, 0 dan 5 gacha bolgan sonlarni tasavvur qilish uchun shu 
ekvivalentdagi barmoqlar sonini ko’tarishingiz kifoya. Katta barmog’ingiz 
qatnashgan jarayonda esa, 6 dan 9 gacha bo’lgan sonlarni tasavvur qilish 
osonlashadi. Quyidagilar “Katta barmoq qoidasi”ni tashkil etadi: 
1.
6 sonini ifodalash uchun, katta barmog’ingizni eng kichnika barmog’ingiz 
ustiga joylashtiring. 
2.
7 sonini ifodalash uchun, katta barmog’ingizni nomsiz barmog’ingiz 
ustiga joylashtiring. 
3.
8 sonini ifodalash uchun, katta barmog’ingizni o’rta barmog’ingiz ustiga 
joylashtiring. 
4.
9 sonini ifodalash uchun, katta barmog’ingizni ko’rsankich barmog’ingiz 
ustiga joylashtiring. 
3 honali sonlar ustida ishlaganda, yuzliklar uchun chap qo’lingizni va o’nliklar 
uchun o’ng qo’lingizni ishlating. Bir honaliga kelganda esa masala deyarli 
echilgan bo’ladi. Endi esa chap qo’ldagi, o’ng qo’ldagi va oxirgi sonni 
(hayolizdagi) talaffuz qiling. Vo ajabo – siz javobni aytdingiz! 
Javob: 
763
1
6

---

Javoblarni eslab qolish uchun Katta barmoq qoidasini ishlatish jarayonida, siz 7 
sonini chap qo’lizda, bosh barmoqni nomsiz barmoq bilan birlashtirib, 6 sonini 
esa o’ng qo’lizda bosh barmoq bilan kichkina barmoqni ulaganda ifodalaysiz. 
Oxirgi sonni aniqlashiz bilan (3 ga teng) va qoldiq (1 ga teng) siz javobni 
aytishingiz mumkin 
Masalan: 
Javob 
Ushbu muammoni hal qilish uchun siz 2-sonida mingli raqamni olish uchun 8 
dan 3 gacha bo'lasiz; baland ovozda "ikki ming" deb ayting, keyin 2352ni 
odatdagi tarzda 3 ga bo'linadi