Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

RUNQE-KUTT ÜSULU
Tutaq ki diferensial tənliyinin y(x₀)=y₀ başlanğıc şərtini ödəyən həllini [a,b] parçasında tapmaq tələb olunur. Qeyd etdik ki, bu həllin tapılması müstəvinin (x₀,y₀) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisini tapmaq deməkdir. [a,b] parçasını h addımı ilə n bərabər hissəyə bölək. Runqe-Kutt üsulunda da Eyler üsulunda olduğu kimi həllin x_k nöqtəsindəki y_k qiyməti y_k-1 nöqtəsindəki qiymətə əsasən tapılır.
y_k=y_k-1+Δy_k-1
Əgər axtarılan funksiyanı x nöqtəsinin h ətrafında Teylor sırasına ayırıb dördüncü tərtib törəməyə qədər hədləri götürsək Δy artımını tapa bilərik:
(9)
Burada y(x) funksiyasının törəmələri (6) tənliyini diferensiallamaqla alınır. İsbat olunub ki, Δy_i artımını hesablamaq üçün f(x,y) funksiyasının törəmələrini hesablayıb (9) münasibəti ilə tapmaq əvəzinə bu funksiyanın dörd nöqtədə hesablanmış qiymətlərinə əsasən

düsturu ilə hesablamalar aparmaq olar. Burada (i = 1,2,3,4) əmsalları aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

Trapesler düsturu mövzusundakı misal 1 Runqe-Kutt üsulu ilə həll edilmişdir. Mathcad sistemində tərtib olunmuş hesabat blokunda əvvəlcə diferensial tənliyin sağ tərəfı və bölgü nöqtələrinin sayı verilmişdir (i=1,2,3,4) əmsallarınım hər birinin hesabat düsturu yazılmışdır. Başlanğıc şərt və Runqe-Kutt üsulunun alqoritmi sütun vektoru şəkilində verilərək dövr qurulmuşdur. Diferensial tənliyin başlanğıc şərtini ödəyən təqribi həlli (y) və dəqiq həlli (y1) cədvəl şəkilində əks olunmuşdur. Dəqiq həlli Eyler və Runqe-Kutt üsulları ilə alınmış təqribi həllər ilə müqayisə etsək görərik ki, Runqe-Kutt üsulu ilə alınmış həll dəqiq həllə daha yaxındır.
Nəzəriyyədən məlumdur ki, yüksək tərtib törəməyə nəzərən həll edilmiş n tərtibli adi diferensial yⁿ=F(x,y,y’,...,y^(n-1)) tənliyi əvəzləmələrin köməyi ilə n sayda birtərtibli adi diferensial tənliklər sisteminə gətirilir.

Məsələn y”=f(x,y,y’) ikitərtibli diferensial tənliyində y'=z qəbul edək. Onda z'=y" olar və aşağıdakı iki birtərtibli tənlikləri alarıq: y'=z və z’=f(x,y,z). Bu halda Koşi məsələsində başlanğıc şərtlər y(x₀) =y₀, z(x₀) =z₀ kimi olur.
Tutaq ki,

diferensial tənliklər sisteminin

başlanğıc şərtini ödəyən təqribi həllini tapmaq tələb olunur. Runqe-Kutt üsulu ilə təqribi həll aşağıdakı

düsturları ilə tapılır. Burada aşağıdakı kimi hesablanır.


Müxtəlif ədədbiyyatlarda

Van-Der-Pol tənliyinin

başlanğıc şərtini ödəyən həllinə baxılır.