Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

SONLU FƏRQLƏR ÜSULU
Tutaq ki, (11)-(12) sərhəd məsələsinin [a,b] parçasında təqribi həllini tapmaq tələb olunur. [a,b] parçasını h addımı ilə 11 bərabər hissəyə bölək:

Bu parçada kəsilməz olan p(x), q(x) və f(x) funksiyalarının bölgü nöqtələrində qiymətlərini

işarə edək. (11)-(12) sərhəd məsələsinin həlli y(x) funksiyasını və onun törəmələrini x_i bölgü nöqtələrində qiymətlərini və ilə işarə edib, sonlu fərqlərlə ifadə edək:

(21)
x=x₀=a və x=x_n=b nöqtələrində isə birinci tərtib törəmələri
(22)
düsturları ilə əvəz edək. (21) düsturlarını (11)-də;

(22) düsturları isə (12)-də nəzərə alsaq

xətti tənliklər sistemi alarıq. Bu xətti tənliklər sistemində y_i (i=0,1,2,...,n) dəyişənlərinin və tənliklərin sayı n+l-dir. Alınmış tənliklər sistemini sadələşdirək:

n=5 götürsək. (23) tənliklər sisteminin birinci dörd tənliyi aşağıdakı şəkildə

axırıncı iki tənlik isə

şəklində yazılır.


QOVMA ÜSULU
Sonlu fərqlər üsulu ilə sərhəd məsələsinin həlli xətti tənliklər sisteminin həllinə gətirilir. (23) tənliklər sisteminin əsas matrisinin elementlərinin hesablanmasında müəyyən qanuna-uyğunluq var. n böyük olduqda xətti tənliklər sisteminin həlli vaxtaparıcı olduğundan onun həlli üçün xüsusi üsul işlənmişdir. Bu üsul qovma üsulu adlanır. (11) - (12) məsəiəsində fərz edək ki, p(x), q(x) və f(x) funksiyaları [a,b] parçasında kəsilməzdir. Sonlu fərqlər üsulunda olduğu kimi [a,b] parçasını n bərabər hissəyə bölüb, bölgü nöqtələrində sonlu fərqlərdən istifadə edərək, sonlu-fərq tənliklərini yazaq:

hp_i-2=m_i, 1-hp_i+h²q_i=n_i, (i=0,1,2,...,n-2) işarələmələrini aparsaq, sonlu fərq tənlikləri aşağıdakı şəkildə yazılar:
(25)
(25)-də y_i+1 dəyişənini tapaq:
(26)
Tutaq ki, (26) tənliklərindən y_i dəyişənləri yox edilib. Onda (26) tənliklərini ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yaza bilərik.

c_i və d_i əmsallarını tapaq. i=0 olduqda (26)-dan və birinci sərhəd şərtindən aşağıdakıları yaza bilərik:

(28)
işarələmələrini aparsaq. y₁=c_o(d_o-y₂) alarıq. y_i=c_i-1(d_i-1-y_i+1) münasibətini (26)-da
nəzərə alsaq

alarıq.
(29)
işarələmələrini aparsaq, y_i+l=c_i(d_i -y_i+2) münasibətini alarıq. (28)-i nəzərə almaqla (29) düsturlarının köməyi ilə c_i və d_i (i=1,2,...,n-2) əmsallarını hesablaya bilərik^. Bu əmsalların hesablanması düz gediş adlanır. (27)-də i=n-2 götürüb, sərhəd şərtlərinin ikinci tənliyindən istifadə edərək y_n dəyişənini tapa bilərik.

Tapılmış y_n dəyişəninin bu qiymətinə, c_n-2 və d_n-2 əmsallarının heablanmış qiymətlərinə görə y_n-1, y_n-2, y_n-2,...,y_i qiymətlərini və y₀= qiymətini hesablaya bilərik. y_i,(i=n,n-1, n-2,...,1,0) qiymətlərinin hesablanması tərs gediş adlanır.