Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

HIPERBOLIK TIP TƏNLIYIN HƏLLI ÜÇÜN
FƏRQ TƏNLIKLƏRININ TƏRTIB OLUNMASI
Hiperbolik tənliyi həll etmək üçün əvvələ sadə tirin rəqs tənliyi üçün sonlu fərq təniiklərini tərtib edək. Tutaq ki,

tənliyinin

şərtləri daxilində həlli axtarılır. Şəbəkə üsulu ilə məsələni həll edək. [o, l] parçasını n bərabər hissəyə bölək. Eyni qayda ilə t dəyişənini 0-dan başlayaraq k addımı ilə dəyişək.

(x_i, t_j), (i = 1,2,...,n), (y=1,2,...) nöqtələrində axtarılan funksiyanın qiymətini u_i,j ilə işarə edib, ikinci tərtib xüsusi törəmələrin təqribi

ifadələrini nəzərə alsaq, verilən hiperboiik tənliyə uyğun sonlu fərq tənlikiəri aşağıdakı kimi yazılar.

alınmış tənlikdə işarələməsi aparıb. u_i,i+1-i tapaq:

Deməli bu hesabat düsturundan istifadə edərək ixtiyari (i,j+1) nöqtəsində funksiyanın qiymətini hesablamaq üçün (i+1,j), (i,j), (i-1,j) və (i,j-1) nöqtələrində funksiyanın qiymətləri məlum olmalıdır (şəkil).
i ,j+1


k


i-1,j i,j i+1,j
h h

k


i,j-1
t=0 anı, j indeksinin 0 qiymətinə uyğun gəldiyini nəzərə alsaq, tənlik aşağıdakı kimi yazılar:

qiymətləri başlanğıc və sərhəd şərtlərindən müəyyən olunmalıdır u_i,0 qiyməti u_i,0=f(ih), (i=0,1,2,...n) düsturu ilə hesablanır. u_i,-1 qiyməti u_t(in,0)=F(in) başlanğıc şərtindən tapılır. Birinci tərtib törəmə üçün sonlu fərqin ifadəsindən istifadə edək.
(8)
qiymətini nəzərə alsaq, j=1 anı üçün funksiyanın qiymətini hesablaya bilərik. j=0 və j=1 anlarında axtarılan funksiyanın qiymətləri məlum olduqdan sonra ardıcıl olaraq (8) hesabat düsturundan istifadə edərək, verilən başlanğıc və sərhəd şərtlərini ödəyən həllin cədvəlini alarıq. Əksər hallarda u_i,1 qiymətini daha dəqiq hesablamaq üçün Teylor sırasına ayrılışdan istifadə edirlər.

olduğunu nəzərə alsaq j=1 üçün
(9)
j=0 üçün isə u_j,0=f_i münasibətlərini alarıq.