Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

LAPLAS TƏNLIYININ SONLU
FƏRQLƏRLƏ YAZILIŞI

Laplas tənliyini sonlu fərqlərlə yazmaq üçün xüsusi törəmələrinin sonlu fərqlərlə ifadəsini Laplas tənliyində nəzərə almaq lazımdır.

olduğunu nəzərə alsaq aşağıdakı münasibəti alarıq.

Burada sadələşdirmələr aparıb u(x,y)-i tapaq.
(5)
Alınmış bu düsturda xətanı qiymətləndirmək mümkün deyil. Xətanı qiymətləndirmək üçün əvvəlcə sonlu fərq tənliklərinin başqa üsullarla çıxarılışına baxaq. Funksiyanın Teylor sırasına ayrılışını yazaq.

(6)
Birinci əsas sxem. (6) ayrılışından istifadə edərək A(x,y), B(x-h,y),C(x+h,y),
D(x,y+h), E(x,y-h) nöqtələrində funksiyanın Teylor sırasına ayrılışına baxaq və ayrılışda dördüncü tərtib törəməyə qədər hədləri görürək (n=4). Bu nöqtələr (şəkil) göründüyü kimi kvadratın simmetriya mərkəzi və tərəflərinin orta nöqtələridir.

şəkil
Funksiyanın B(x-h,y), C(x+h,y), D(x,y+h), E(x,y-h) nöqtələrində qiymətlərini A(x,y) nöqtəsində funksiyanın və törəmələrinin qiymətlərinlə ifadə edək.

Burada nöqtəsində funksiyanın və törəmələrinin qiymətləridir. aralıq nöqtədə (məsələn B və A-nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçası üzərində görärülmüş müəyyən nöqtədə) funksiyanın törəmələrinin qiymətləridir. Funksiyanın B(x-h,y), C(x+h,y), D(x,y+h), E(x,y-h) nöqtələrində qiymətlərini toplasaq aşağıdakı münasibəti alarıq.
u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)=4u(x,y)+h²(u_xx+u)+R_h(x,y)
Burada qalıq hədd

O(h⁴) ilə qiymətləndirilir. Buradan
(u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h))=4u(x,y)+h²Δu +O(h⁴)
münasibətini, nəticədə isə

düsturunu alarıq. Bu düsttır Laplas operatorunun əsas sonlu fərq forması adlanır. O(h²) həddini sonsuz kiçik hesab edib, Δu=0 olduğunu nəzərə alaq. Nəticədə Laplas təniiyinin sonlu fərqlərlə aproksimasiyasını, yəni (5)-i alarıq.