Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

İkinci əsas sxem. Aşağıdakı nöqtələrdə funksiyanın Teylor sırasına ayrılışına baxaq (n=4). Bu nöqtələr (şəkil) kvadratın simmetriya mərkəzi və təpə nöqtələridir.


Şəkil
Teylor düsturundan istifadə edərək, funksiyanın

nöqtələrində qiymətlərini, A(x,y) nöqtəsində funksiyanın və törəmələrinin qiymətləri ilə ifadə edək.
D nöqtəsində

E nöqtəsində

B nöqtəsində

C nöqtəsində

Alınmış münasibətləri tərəf-tərəfə toplayaq.

O(h²) həddini kiçik hesab edərək atsaq Δu=0 Laplas tənliyini aşağıdakı sonlu fərq tənliyi ilə əvəz edə bilərik.



DIRIXLE MƏSƏLƏSININ
ŞƏBƏKƏ ÜSULU ILƏ HƏLLI
İki dəyişənli ikitərtibli xüsusi törəməli diferensial tənlik üçün sərhəd məsələsini şəbəkə (sonlu fərqlər) üsulu ilə təqribi həlli, üç mərhələ ilə yerinə yetirilir.
1.Müstəvi üzərində həllin axtanldığı G oblastına kifayət qədər yaxın G_n (şəkil) şəbəkəsi qurulur.

Şəkil
2. Verilən diferensial tənlik G_n şəbəkəsinin təpə nöqtələrində sonlu fərq tənlikləri ilə əvəz olunur.
3. G oblastı üzrə sərhəddəki verilən sərhəd şərtlərindən istifadə edərək, axtanlan həllin G_n şəbəkəsinin sərhəddə yaxın düyün nöqtələrində qiymətləri müəyyən edilir. Dirixle məsələsinin şəbəkə üsulu ilə həllinə baxaq.

Elə kəsilməz u(p)=u(x,y) funksiyası axtarılır ki, (x,y)ϵG oblastında verilən tənliyi ödəsin, sərhəddə isə verilən φ(p) funksiyasına bərabər olsun.Yəni

şərti ödənsin. Sadəlik üçün G oblastını düzbucaqlı şəkilində götürək və h addımı ilə bu oblastı kiçik kvadratlara bölək. Nəticədə təpə nöqtələrinin koordinatları (x_i,y_j) olan kvadratlar alarıq.
x_i=x₀+ih, y_i=y₀+ih, (i,j=0,±1,±2,±3.......)
Ümümiyyətlə h addımını elə seçmək olar ki, G oblastının sərhəddi olan Γ əyrisi şəbəkənin təpə nöqtələrinə daha yaxın olsun (şəkil)

Şəkil
Aydındır ki, şəbəkənin təpə nöqtələrindən G oblastından kənarda qalanları olacaqdır. Şəbəkənin təpə nöqtələri təsnif edilir. Əgər təpə nöqtəsinin qonşuluğunda heç olmazsa bir daxili təpə nöqtəsi varsa, bu təpə nöqtəsi birinci növ sərhəd nöqtəsi hesab olunur. Qonşu təpə nöqtələri G oblastında yerləşdikdə və ya birinci növ sərhəd nöqtəsi olduqda belə təpə nöqtəsi daxili nöqtə adlanır. Əks halda, şəbəkənin təpə nöqtəsi ikinci növ hesab olunur. Şəbəkənin daxili və birinci növ sərhəd nöqtələri hesabat nöqtələri adlanır. Şəkildə şəbəkənin daxili təpə nöqtələri kiçik dairələrlə, birinci növ sərhəd nöqtələri qara nöqtələrlə göstərilmişdir. İkinci növ təpə nöqtələri isə xətlərlə ayrılmışdır. Şəbəkənin x_i, y_i təpə nöqtələrində funksiyanın qiymətlərini u_i,j=u(x_i,y_j) işarə edək. Şəbəkənin daxili təpə nöqtələrində verilən diferensial tənliyi sonlu fərq tənlikləri ilə əvəz edək.

Burada təpə nöqtələri hesabat nöqtələridir. Birinci növ sərhəd nöqtələrində (B_h) axtarılan həllin qiyməti, şəbəkənin ona yaxın təpə nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürülür u(b_h)=U(b)=φ(b). Dirixle məsələsi modelləşdirmə, Monte-Karlo üsulları ilə də həll etmək olar. Hər bir halda məsələnin həlli xətti tənliklər sisteminin həllinə gətirilir.