Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

PARABOLIK TIP TƏNLIK ÜÇÜN
FƏRQ TƏNLIKLƏRININ TƏRTIBI
Parabolik tip tənliklər fiziki proseslərin tədqiqində geniş istifadə olunur. Bircins çubuqda istiliyin zamandan asılı dəyişməsi aşağıdakı parabolik tip tənliklə xarakterizə olunur:

Burada a-sabitdir və çubuğun fiziki xassələrini xarakterizə edir. F(x,t) çubuğun uzunluğu boyunca zaman keçdikcə verilən istilik mənbəyinin intensivliyini göstərir. Əgər istilik mənbəyi yoxdursa, yəni F(x,t)=0 olarsa, istiliyin zaman keçdikcə çubuqda dəyişməsi aşağıdakı tənliklə xarakterizə olunar:
və ya
a²t=η əvəzləməsi aparsaq, tənlik aşağıdakı şəkildə yazılar.

Deməli F(x,t)=0 olduqda verilən tənliyi əvəzləmə aparlamaqla həmişə

şəklinə gətirmək olar. Bilirik ki, həllin birqiymətli olması üçün başlanğıc və sərhəd şərtləri verilməlidir. Başlanğıc şərt, t=0 olduqda u(x,0)=f(x), yeni başlanğıc anda çubuğun uzunluğu boyunca temperaturun paylanması verilməlidir. Əgər zaman keçdikcə çubuğun uclarında temperaturun dəyişmə qanunu məlumdursa sərhəd şərtləri aşağıdakı kimi yazıla bilər.

Tələb olunur ki, çubuğun uzunluğu boyunca zaman keçdikcə sərhəd şərtləri ödənilməklə təmperaturun dəyişməsi müəyyən olunsun. Bunun üçün (x,t) müstəvisində t≥0,...0≤x≤ oblatında şəbəkə tərlib edək. Burada h ox oxu boyunca yönəlmiş çubuğun hesabat aparılacaq nöqtələri arasında addımdır . Zaman oxu boyunca (0,t) hesabat addım isə k=σh² düsturu ilə müəyyən olunur. Burada σ-nın seçilməsi üzərində ayrıca dayanacağıq. Şəbəkənin düyün nöqtələrində axtarılan funksiyanı u_ij=u(x_i,t_j) kimi işarə edək. Verilən parabolik tip tənliyi sonlu fərqlərlə aproksimasiya etmək üçün birinci və ikinci tərtib törəmələrin aşağıdakı ifadələrindən istifadə edək.

Bu ifadələri nəzərə alsaq, həlli axtarılan parabolik tip tənlik üçün fərq tənlikləri aşağıdakı kimi yazılar.

Sadələşdirmələr aparsaq

sonlu fərq tənliyinin daha sadə formasını alarıq. Bu münasibətdən görünür ki, j indeksinin müəyyən qiymətində yəni t_j=jk anında çubuğun nöqtələrində u_ij=u(x_i,t_j) qiymətlərini bilməklə indeksin j+1 qiymətinə uyğun t_j+1=k(j+1) anında çubuğun uzunluğu boyunca temperaturu hesablamaq olar. Hesabatda iştirak edən nöqtələrin sxemi aşağıda verilmişdir (Şəkil).

(Şəkil)
j=0, yəni t=0 olduqda fərq tənliyi aşağıdakı kimi yazılar.


Bu qayda ilə j=1 yəni t₁=k anı üçün çubuqda istiliyin yayılmasını müəyyən edən u_i1=u(x_i,t₁) (i=0,1,2,...,n) qiymətlərini tapa bilərik. j=2 qiymətində, yəni t=2k anında fərq tənliyi aşağıdakı kimi olar:

t₁=k anında hesabat qiymətlərindən və sərhəd şərtindən istifadə edərək t=2k anı üçün hesabat qiymətlərini tapa bilərik. Bu qayda ilə ardıcıl olaraq, müəyyən zaman anında çubuqda istiliyin yayılmasını xarakterizə edən funksiyanın qiymətlər cədvəlini tapa bilərik. Alınmış hesabat qiymətlərindəki xəta σ eləcə də parabolik tip təniiyin sonlu fərq təniikiəri ilə aproksimasiyasında xəta σ parametrinin seçilməsindən asılıdır. σ parametrinin seçilməsi üçün aşağıdakı işarələmələri aparaq:

L_h[U] operatoru L[U] diferensial operatoruna uyğun sonlu fərq operatorudur. R_h[U]=L_h[U]-L[U] fərqi aproksimasiyanın xətası adlanır. Şəbəkəninin (x_i,t_j) (i=l,2,...,n), (j=1,2,...) düyün nöqtələrində xətanı qiymətləndirək. u(x,t) funksiyası parabolik tənliyin həlli olduğundan düyün nöqtələrində L[U]=0 və R_h[U]=L_h[U] şərti ödənər.

işarələmələrini nəzərə alıb, L_h[U] sonlu fərq operatorunu (x_i,t_j) düyün nöqtəsinin yaxın ətrafında Teylor sırasına ayıraq və h⁶ tərtib həddinə qədər hədiəriə kifayətlənək.

u(x,t) funksiyası parabolik tənliyin həlli olduğundan

münasibətlərini nəzərə alsaq L_h[U] sonlu fərq operatoru üçün daha sadə ifadə alarıq.