Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

İKİTƏRTİBLİ XÜSUSİ TÖRƏMƏLİ TƏNLİKLƏR
ƏSAS ANLAYIŞLAR
Fizika və mexanikanın bir çox məsələlərinin tədqiqində riyazi modellər xüsusi törəməii diferensial tənliklərlə təsvir olunur. Ümumiyyətlə adi diferensial tənliklərdə olduğu kimi xüsusi törəməli diferensial tənliklərin də çox az hallarda dəqiq həllini analitik üsullarla tapmaq olur. Ona görə də bu tip məsələlərin həlli üçün müxtəlif təqribi üsullar işlənmişdir. Sadəlik üçün iki dəyişənli funksiyanın iştirak etdiyi xüsusi törəməli xətti diferensial tənliyə baxaq. Əgər xüsusi törəməii diferensial tənlik axtarılan funksiya və onun törəmələrinə nəzərən xəttidirsə, onda bu tənliyə xətti xüsusi törəməli diferensial tənlik deyilir. Ümumi halda iki dəyişənli ikitərtibli xətti xüsusi törəməli diferensial tənlik aşağıdakı kimi yazılır:
(11)
Burada -lə axtarılan u(x,y) funksiyasının x və y dəyişənlərinə nəzərən birinci və ikinci tərtib törəmələri işarə olunmuşdur. Fərz edək ki, (1) tənliyində iştirak edən A(x,y), B(x,y), C(x,y), a(x,y), b(x,y), c(x,y) və f(x,y) iki dəyişənli funksiyaları müəyyən qapalı oblastda kəsilməzdirlər. (1) tənliyini eyniliyə çevirən z=u(x,y) funksiyası üç ölçülü fəzada səthi təsvir edir. Bu səthə inteqral səthi deyilir. Əgər (1) tənliyində əmsallar sabit ədədlər olarsa, onda tənlik sabit əmsallı xüsusi törəməli diferensial tənlik adlanır.
D=AC-B²
tənliyin diskriminantı adlanır. Diskriminant tənliyin tipini müəyyən edir və ixtiyari cırlaşmayan çevirmədə tənliyin tipi dəyişmir. (1) tənliyi D>0 olduqda elliptik, D=0 olduqda parabolik D<0 olduqda isə hiperbolik tip tənlik adlanır. Qeyd etdik ki, əksər fıziki proseslər xüsusi törəməli diferensial tənliklərlə xarakterizə olunur. Məsələn, stasionar rejimdə^-yəni əlavə istilik mənbəyi olmadıqda istiliyin yayılması aşağıdakı tənliklə xarakteıizə olunur:
(2)
Burndn u=u(x,y) funksiyası lövhənin (x,y) nöqtəsinin temperaturunu xarakterizə edir. Bu tənlikdə A=1, B=0, C=1 olduğunu nəzərə alsaq D=1>0 olar. Bu tənliyin tipi elliptikdir və Laplas tənliyi adlanır.

operatoru Laplas operatoru adlanır. Laplas tənliyi çox vaxt kimi yazılır. Kəsilməz törəmələri olan u(x,y) funksiyası G oblastında Laplas tənliyini ödəyirsə, bu funksiyaya harmonik funksiya deyilir.

funksiyalarının hər biri (2) tənliyini ödədiyindən harmonik fuııksiyadır. Qeyri-bircins Laplas tənliyi


(3)
Puasson tənliyi adlanır. Bu tənlik stasionar olmayan proseslərdə, yəni əlavə istilik mənbəyi olduqda istiliyin paylanmasını xarakterizə edir. Aydındır ki, (3) tənliyi eiliptikdir.
İstilikkeçirmə və diffuziya məsələlərinin riyazi modeli əksər hallarda

tənliyi ilə yazılır. A=0, B=0, C=-a² olduğunu nəzərə alsaq, D=0 olar. Tənliyin tipi pa rabolikdir. Bu tənliyə istilikkeçirmə tənliyi deyilir.

A=0, B=0, C=1 və D=0 olduğundan tənliyin tipi parabolikdir. Tənliyin həlli (inteqral səth) u=yφ(x)+ψ(x) kimi yazıla bilər. Burada φ(x) və ψ(x) ixtiyari birdəyişənli funksiyalardır.
Fizikada əksər rəqs prosesləri

tənliyi ilə xarakterizə olunur. A=1, B=0, C=a² və D<0 olduğundan tənlik hiperbolik tipdir. Bu tənliyə adətən simin rəqs tənliyi də deyilir.
Xüsusi törəməli diferensial tənliklərin ümumi halda sonsuz sayda həlli var. Əgər tən lik hər hansı fiziki prosesi xarakterizə edirsə, birqiymətli həll üçün əlavə şərtlər qoyulmalıdır.
A(dy)²-2Bdxdy+C(dx)²=0
Diferensial tənliyi (1)-in xarakteristik tənliyi adlanır. Hiperbolik tənliyin iki həqiqi
φ(x,y)=c₁, ψ(x,y)=c₂ parabolik tənliyin bir həqiqi φ(x,y)=c, elliptik tənliyin isə iki
xəyali xarakteristika ailəsi vardır φ(x,y)+iψ(x,y)=c₁, φ(x,y)-iψ(x,y)=c₂. Bu xarakteristikalar məlum olduqda xüsusi törəməli diferensial tənliyi kanonik şəklə gətirmək olar.