Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

ARDICIL YAXINLAŞMA (PIKAR) ÜSULU
Tutaq ki, (4) tənliyinin M(x₀,y₀) nöqtəsinin yaxın ətrafında yeganə həlli var və y(x_o)=y_o başlanğıc şərtini ödəyən həlli axtarılır. x≥x₀ oblastında (x≤x₀ oblastında analoji olaraq qurulur. (4)-ün hər tərəfıni x₀-dan x-ə qədər inteqrallayaq:

Başlanğıc şərti nəzərə alsaq

inteqral tənliyini alarıq. Ona görə ki, axtarılan y(x) funksiyası həm də inteqralaltı
funksiyada iştirak edir. Aydındır ki, (5) həm (4) tənliyini, həm də başlanğıc şərti ödəyir. (4) tənliyinin həllini tapmaq üçün ardıcıl yaxınlaşmalar quraq. Birinci yaxınlaşma kimi y(x)=y₀ götürək və (5)-də inteqralaltı funksiyada bu qiyməti nəzərə alaq:

Alınmış y₁(x) yaxınlaşmasını nəzərə alsaq

yaxmlaşmasını alarıq. Bu qayda ilə prosesi davam etdirsək

ardıcıl yaxınlaşmalarını qura bilərik. Nəzəriyyədən məlumdur ki, inteqralaltı funksiya Lipşits şərtini ödəyərsə, [x₀, x₀+h] parçasında y_n(x) funksiyaları (4) diferensial tənliyinin qoyulan başlanğıc şərtini ödəyən həllinə müntəzəm yığılır:

Mathcad mühitində müəyyən və qeyri-müəyyən inteqralların hesablanması üçün xüsusi obyektlər vardır. Bu obyektlərdən istifadə edərək birtərtibli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsinin ardıcıl yaxınlaşma üsulu ilə həllini tapmaq və qrafiklərini qurmaq olar.


EYLER ÜSULU
Ardıcıl yaxınlaşma üsulunda hər bir yaxınlaşmada müəyyən inteqrallar hesablanır. Əksər hallarda müəyyən inteqralları dəqiq üsullarla hesablamaq mümkün olmur və təqribi üsullardan istifadə olunur.
Tutaq ki,
y’(x)=f(x,y)
diferensial tənliyinin y(x₀)=y₀ başlanğıc şərtini ödəyən həllini [a,b] parçasında tapmaq tələb olunur [a,b] parçasını h addımı ilə n bərabər hissəyə bölək:

[x_k, x_k+1] parçasında tənliyini inteqrallayaq.

(7)

[x_k, x_k+1] parçasında f(x,y) funksiyasının qiymətini sabit, (x_k,y_k) nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürsək (7) aşağıdakı kimi yazılar:
(8)
(8) (x_k,y_k) nöqtəsində (6) tənliyinin y(x) həllinə çəkilmiş toxunanın tənliyidir. Sanki
[x_k, x_k+1] parçasında (6) tənliyinin həlli abisisi x_k olan nöqtədə çəkilmiş toxunana paralel və (x_k,y_k) nöqtəsindən keçən düz xətt parçası ilə əvəz olunur. Nəticədə həllə yaxın sınıq xətləri alırıq ki, bu sınıq xəttə Eyler sınıq xətti deyilir. x_k+1-x_k=h olduğunu nəzərə alsaq və sadə işarələmələrdən istifadə etsək, hesabat düsturlarını aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:
y_k+1=y_k+f(x_k,y_k)h