Mühazirə 22. Volterra tip tənliklərin ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə həlli. Ədədi həllərin tapılması

Mühazirə 22. Volterra tip tənliklərin ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu ilə həlli. Ədədi həllərin tapılması.


22.1. II növ Volterra inteqral tənliyinin ardıcıl yaxınlaşma üsulu ilə həlli
(1)
II növ xətti Volterra tənliyinə baxaq. Tutaq ki, , ( , ) funksiyaları kəsilməzdirlər. Başlanğıc yaxınlaşma olaraq ixtiyari kəsilməz funksiyası götürək (xüsusi halda olaraq sərbəst həddini götürmək olar) və aşağıdakı kimi ardıcıl yaxınlaşmalar quraq:
(2)
Göstərək ki, (2) düsturu ilə düzələn funksiyalar ardıcıllığı yığılır və limit funksiyası (1) tənliyinin həllidir. Bu məqsədlə aşağıdakı funksional sıranı nəzərdən keçirək:
, (3)
(3) sırasının ilk sayda həddinin cəmi funksiyasına bərabərdir. Deməli, funksiyalar ardıcıllığının yığılması (3) sırasının yığılmasına gətirilir.
(4)
işarə edək. Asanlıqla göstərmək olar ki,
.
Onda (3) sırasını
, (5)
şəklində yazmaq olar. Beləliklə, məsələ (5) sırasının hansı şərt daxilində (1) tənliyinin həllinə yığılmasına gətirilir.
funksiyalarını qiymətləndirək:
,
.
Riyazi induksiya metodu ilə isbat etmək olar ki, istənilən n natural ədədi üçün
(6)
düsturu doğrudur.
işarə edək və müsbət hədli (7)
sırasına baxaq. Aydındır ki, (5) sırasının hər bir həddi müsbət hədli (7) sırasının uyğun hədlərindən böyük deyildir, yə’ni (7) ədədi sırası (5) funksional sırası üçün majorant sıradır. (7) ədədi sırası  parametrinin istənilən sonlu qiymətində yığılır. Buna görə də (5) funksional sırası  parametrinin istənilən sonlu qiymətində mütləq və müntəzəm yığılır. Deməli, funksiyalar ardıcıllığı  parametrinin bütün sonlu qiymətlərində yığılır:
.
(2) bərabərliyindən şərtindən limitə keçsək, funksiyasının (1) tənliyinin həlli olduğunu almış olarıq.
İterasiya prosesinin yığılma sür’ətini tə’yin edək:
.

Beləliklə, istənilən natural ədədi üçün
, (8)
olduğu alınır. (8) düsturu funksiyalar ardıcıllığının həllinə yığılma sür’ətini tə’yin edir. Deməli, Volterra tənliyi üçün iterasiya üsulu faktorial yığılma sürətinə malikdir.
Beləliklə, aşağıdakı teoremi isbat etmiş oluruq:
Teorem. Tutaq ki, ( , ) funksiyaları kəsilməzdirlər. Onda ixtiyari  üçün (1) tənliyinin kəsilməz funksiyalar fəzasında yeganə həlli var və bu həll (2) yaxınlaşmalarının limitinə bərabərdir. Yığılma sür’əti isə (8) düsturu ilə tə’yin edilir.


22.2. I növ Volterra inteqral tənliyinin ardıcıl yaxınlaşma üsulu ilə həlli


(1)
tənliyinə Pikarın ardıcıl yaxınlaşma üsulunu tətbiq edək. Bunun üçün
(2)
tənliyindən istifadə edək.

işarə edək. Əlverişli olması üçün tənliyə parametr daxil edərək (2) tənliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar.
(3)
olduqda isə
I növ Volterra tənliyini yenidən II növ Volterra tənliyinə gətirmək lazımdır.
(3) tənliyini adi iterasiya üsulu ilə həll edək. Tutaq ki, ( , ) funksiyaları kəsilməz-dir. Başlanğıc yaxınlaşma olaraq ixtiyari kəsilməz funksiyası götürək (xüsusi halda olaraq sərbəst həddini götürmək olar) və aşağıdakı kimi ardıcıl yaxınlaşmalar quraq:
(4)
(4) düsturu ilə düzələn funksiyalar ardıcıllığının (3) tənliyinin və deməli, (1) tənliyinin həllinə yığılması məsələsi məlumdur. Beləliklə, (3) tənliyi üçün aşağıdakı teorem doğrudur.
Teorem. Tutaq ki, ( , ) funksiyaları törəmələri ilə birlikdə kəsilməz-dir və . Onda ixtiyari üçün (3) tənliyinin kəsilməz funksiyalar fəzasında yeganə həlli var, bu həll (4) yaxınlaşmalarının
limitinə bərabərdir və yığılma sür’əti

düsturu ilə tə’yin edilir.
İterasiya ardıcıllıqlarının sayı başlanğıc yaxınlaşmanın seçilməsindən, yə'ni onun baxılan aralıqda həllə nə dərəcədə yaxın olmasından asılıdır.
Qeyd. Nüvə və sərbəst hədd kəsilməz olduqda II növ xətti Volterra tənliyinin istənilən l üçün yeganə kəsilməz həlli olduğundan, l =1 və ya l -nı nüvənin özünə daxil edəcəyik. Başqa sözlə
,
şəklində tənliyə baxacağıq.