N tərtibli determinant anlayışı Minor və cəbri tamamlayıcı

Misal 1: olarsa, matrisini tapın.
-dir.
.
Misal 2: olarsa, BA hasilini tapın.
B matrisi 2x2 ölcülü, A matrisi isə 2x3 ölcülüdür. C=BA işarələməsi aparaq.

Nəticədə alırıq: .
Misal 3: olarsa, tapın.

Misal 4: matrisinin determinantını tapın.

Misal 5: matrisinin determinantını tapın.

Misal 6: matrisinin determinantını hesablayın.
(4) –dən istifadə edərək determinantı 3-cü sətir elementlərinə nəzərən ayıraq:

4. Laplas teoremi
Teorem 5: n tərtibli matrisinin determinantı ixtiyari sayda nömrəli sətirləri vasitəsilə düzəldilmiş bütün mümkün tərtibli minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəminə bərabərdir:

(burada cəmləmə sətrini ödəyən bütün mümkün – lar üzrə aparılır)


5. Determinantın xassələri
Determinant aşağıdakı xassələrə malikdir:
1.(Transponirə olunma xassəsi). Determinantın bütün sətirlərini onun uyğun nömrəli sütunları ilə əvəz etdikdə determinantın qiyməti dəyişmir (transponirə etdikdə determinantın qiyməti dəyişmir).
İsbatı: determinantının birinci sütun elementlərinə nəzərən ayrılışının transponirə nəticəsində alınmış determinantının birinci sətir elementlərinə nəzərən ayrılışı ilə üst-üstə düşməsindən bu xassənin doğruluğu alınır.
2. (Antisimmetriklik xassəsi) Determinantın iki sətrinin (sütununun) yerini dəyişdikdə determinantın qiymətinin işarəsi əksinə dəyişir.
İsbatı: İki tərtibli determinant üçün alırıq:

İxtiyari tərtibli determinantına baxaq. Laplas teoreminə əsasən və - nömrəli sətir elemenləri üçün aşağıdakı ayrılışı yaza bilərik:
(8)
determinantında və nömrəli sətirlərin yerini dəyişsək, iki tərtibli determinantlarının qiyməti əksinə dəyişir, minorlarına isə nömrəli sətir elementləri daxil olmadığından onlar dəyişmir. Nəticədə (8) –dən alınır ki, determinantın və nömrəli sətirlərinin yerini dəyişdikdə determinantın mütləq qiyməti saxlanılır və onun işarəsi əksinə dəyişir.
3. Determinantın ixtiyari nömrəli sətir ( nömrəli sütun ) elementləri
(9)
kimi xətti kombinasiyadan ibarət olarsa, onda
(10)
bərabərliyi doğrudur (burada və determinantları determinantının nömrəli sətrinin ( nömrəli sütununun) uyğun olaraq və ədədlərindən ibarət sətirlə (sütunla) əvəz edilməsindən alınan determinantlardır).
İsbatı: determinantını nömrəli sətir elementlərinə nəzərən ayıraq və (9)-u nəzərə alaq:
(11)
, ni – ci sətir elementlərinə nəzərən ayıraq:


Sonuncu ayrılışları (11)-də yazdıqda (10)-nun doğruluğunu alırıq.
4. İki sətri (sütunu) eyni olan determinant sıfra bərabərdir.
İsbatı: Tutaq ki, determinantın və nömrəli sətirlərinin uyğun elementləri bir-birinə bərabərdir. Əgər bu iki sətrin yerini dəyişsək, bu sətirlər eyni olduqlarından determinantın qiyməti dəyişməyəcəkdir. Digər tərəfdən ikinci xassəyə əsasən determinantın qiymətinin işarəsi əksinə dəyişir. Son nətəcədə alırıq ki, -dir. Yəni -dır.
5. Determinantın ixtiyari sətir (sütun) elementlərinin hamısını ədədinə vurduqda determinantın qiyməti dəfə artır (müəyyən sətir (sütun) elementlərindən ortaq vuruğu determinant işarəsi xaricinə çixarmaq olar).
Bu xassənin isbatı 3-cü xassədən olduqda alınır.
6. Əgər determinantın bir sətri (sütunu) ancaq sıfırlardan ibarət olarsa, onda həmin determinant sıfra bərabərdir.
Bu xassənin isbatı 3-cü xassədən olduqda alınır.
7. İki sətir (sütun) elementləri mütənasib olan determinant sıfra bərabərdir.
İsbatı: Tutaq ki, determinantın –ci və cı sətrinin uyğun elementləri mütənasibdir:

5 ci xassəyə əsasən determinantın –ci sətrindən ortaq vuruğunu determinant işarəsi xaricinə çixarmaq olar. Nəticədə iki sətri eyni olan determinant alınır . Həmin determinant 4 cü xassəyə əsasən sıfra bərabərdir.
8. Determinantın ixtiyari sətir (sütun) elementlərini eyni bir ədədə vurub digər bir sətrin (sütunun) uyğun elementləri ilə topladıqda, determinantın qiyməti dəyişmir.
İsbatı: Determinantın –ci sətir elementlərini ədədinə vurub –cı sətrin uyğun elementlərinə əlavə etdikdən sonra alınan determinanta 3-cü xassəni tətbiq etsək, həmin determinantı iki determinantın xətti kombinasiyası şəklində göstərə bilərik. Bu determinantlardan biri ilə üst-üstə düşür, digər determinantın iki sətri mütənasib olduğundan o, 7-ci xassəyə əsasən sifra bərabərdir.
9. Determinantın ixtiyari sətir (sütun ) elementlərinin hər hansı digər sətir (sütun) elementlərinin cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi sıfra bərabərdir:
(12)
Isbatı: Determinantın –ci sətir elementlərinə nəzərən ayrılışını yazaq:
(13)
Qeyd edək ki, -lər nömrəli sətrin elementlərindən asılı deyil. (13) bərabərliyi –lərə nəzərən eynilikdir və həmin elementləri sayda digər elementlərlə əvəz etdikdə bu bərabərlik dəyişmir. elementlərini –cı sətrin elementləri ilə əvəz etdikdə (13)-ün sol tərəfində iki sətri eyni olan determinant alınır və həmin determinant 4-cü xassəyə əsasən sıfra bərabərdir. Nəticədə (13)-dən alırıq:

Misal 7:
determinantında olarsa, əks simmetrik determinant adlanır.
Əks-simmetrik determinant üçün olduqda alınır ki, , yəni –dır. Əks-simmetrik determinantın baş dioqanal elementləri sıfra bərabərdir:
(14)

(14)-lə təyin edilən determinantının hər sətrini ə vursaq nəticədə transponirə edilmiş determinant alınacaq. Determinantın 1-ci xassəsinə əsasən onun qiyməti dəyişməyəcək. Digər tərəfdən (14)-ün hər bir sətrini ə vurduqda 5-ci xassəyə əsasən onun qiyməti -ə vurulmuş olacaq:

(14)
tək olduqda (14)-dən alınır ki, -dir. Deməli, tərtibi tək ədəd olan əks-simmetrik determinant sıfra bərabərdir.