Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Marshall Xoll teoremasi. Agar raqamni kengaytirishda� davomli kasrga, ikkinchi elementdan boshlab, katta raqamlar yo'q� n, keyin biz raqamni aytamiz� x sinfga tegishli�(�) F(n). Har qanday haqiqiy son sinfdagi ikkita sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin�(to'rtta) F(4) va sinfdan ikkita raqamning ko'paytmasi sifatida �(to'rtta). F(4) Keyinchalik har qanday haqiqiy sonni sinfdagi uchta sonning yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligi ko'rsatildi�(3) F(3) va sinfdan to'rtta raqam yig'indisi sifatida�(2) F(2). Bu teoremada talab qilinadigan shartlar sonini kamaytirib bo'lmaydi - ba'zi raqamlarni shu tarzda ifodalash uchun kamroq shartlar etarli emas.
Qadimgi matematiklar , Evklid algoritmidan foydalangan holda, bu zanjirni olish uchun ketma-ket mos nisbatlar zanjiri shaklida o'lchovsiz miqdorlarning nisbatlarini ifodalay oldilar . Ko'rinib turibdiki, Arximed aynan shu yo'l bilan yaqinlashuvga erishgan 3≈1351780 uchun 12-oddiy kasrdir3 yoki uchun 4-konvergentning uchdan bir qismi27 .
V asrda hind matematigi Aryabxata ham birinchi va ikkinchi darajali noaniq tenglamalarni yechishda xuddi shunday “tazatish usuli”dan foydalangan. Xuddi shu texnikaning yordami bilan raqam uchun taniqli yaqinlik� ¶(355/113). 16 - asrda Rafael Bombelli davomli fraktsiyalar yordamida kvadrat ildizlarni ajratib oldi ( uning algoritmiga qarang ).
Davomli kasrlarning zamonaviy nazariyasining boshlanishi 1613 yilda Pietro Antonio Kataldi tomonidan qo'yilgan . U ularning asosiy xususiyatini (mos fraktsiyalar orasidagi pozitsiya) qayd etdi va zamonaviyni eslatuvchi belgini kiritdi. Keyinchalik uning nazariyasini "davomli kasr" atamasini taklif qilgan Jon Vallis kengaytirdi . Ekvivalent atama " davomli otish " 18-asr oxirida paydo bo'ldi.
Bu kasrlar birinchi navbatda haqiqiy sonlarni ratsional yaqinlashtirish uchun ishlatilgan; Masalan, Kristian Gyuygens ulardan o'z planetariylari uchun mexanizmlarni loyihalashda foydalangan. Gyuygens allaqachon konvergentlar har doim kamaytirilmasligini va ular asl songa eng yaxshi ratsional yaqinlashuvni ifodalashini allaqachon bilgan.
18-asrda davomli kasrlar nazariyasi umumiy maʼnoda Leonhard Eyler va Jozef Lui Lagranj tomonidan yakunlandi.